Modélisation de valeurs extrêmes Université de Liège : octobre 2002 Daniel Justens HEFF/Cooremans Bruxelles

Positionnement Utilisation des modèles mathématiques en finance, en gestion et en actuariat. Ecarts entre les prévisions théoriques et le réel observé : non-adéquation du modèle ? Cas particulier des valeurs extrêmes

Exemple 1 : rendements boursiers Présentation du cas de lindice DAX entre 1996 et 2000 : 902 observations journalières. Moyenne observée : 0, Ecart-type observé : 0, Modélisation des rendements par une distribution normale ?

Rendements journaliers DAX entre 1996 et 2000

Aspect des queues de courbe

Valeurs centrales

Valeurs à droite

Distributions de Pareto-Lévy Vilfredo Pareto ( ) Sociologue, qui se consacre dès 1890 à une modélisation « pure » de léconomie qui selon lui doit sétudier comme la physique. Paul Lévy ( ) Mathématicien, qui étudie les distributions stables vers 1930.

Retour aux sources Distributions de Pareto de base : pour x 1 et avec a > 0 On en tire :

Moments de la distribution On vérifie que : lorsque n < a et que : lorsque n a On en tire (a>2) :

Adaptation de la distribution But : obtenir une fonction de répartition tendant vers 1 en + comme 1- x -a et vers 0 en - comme |x| - b (a et b > 0). Idée : travailler avec les fonctions réciproques. En effet, il est facile de représenter la fonction g de R 0 + dans R : g(x) = x -1/a - x 1/b

Représentation de y = x -1 -x 1/2

Inversion des axes

Construction de la répartition On a défini une fonction g(x) de manière implicite : x = g(x) -1/a - g(x) 1/b Cette fonction g(x) a en - le comportement de |x| b et en + le comportement de x -a. Etudions la fonction :

Suite... Cette dernière tend vers 0 en - comme |x| -b et vers 1 en + comme 1- x -a Conclusion : Forme implicite de la fonction de répartition

Cas particulier : a=b Dans ce cas, on arrive aisément à une forme explicite. En effet, léquation devient : x = g(x) -1/a - g(x) 1/a Posons g(x) 1/a = Y. L équation devient x =1/Y - Y ou encore : (x + Y)Y = 1 Y 2 + x Y -1 = 0

Suite... Y 2 + x Y -1 = 0 dont la solution est évidente : On en tire :

Ajustements Recherche ouverte : étude théorique de ces distributions avec une paramétrisation Méthodes dajustements autres que moindre carrés de façon à privilégier les queues de courbe

Ajustements du DAX : a = 270

Ajustements : à gauche avec a = 220

Ajustements : à droite avec a = 270 normale Pareto

Exemple 2 : tarification automobile A priori clustering and bonus-malus system The number of claims distributions The problem of the classical models

The mixed Poisson distributions Let X be the number of claims occurring in a unit period. Let be the risk parameter (expecting number of claims) with probability distribution U( ). We assume that for a given risk parameter, the random variables p k ( ) giving the number of claims follow a Poisson distribution.

Moments of mixed Poisson distributions Mean : E[X] = E[ Variance VAR[X] = E + VAR

The model of Lemaire (1977) The underlying distribution follows a Gamma distribution : In this case, we have :

Mixed Poisson family Underlying distribution transition Probabilities Negative exponential Geometrical Erlang P-Erlang Inverse Gaussian P-inverse gaussian

Fitting the data (1) The Belgian case :

Underlying distributions

Distributions tails

Fitting the data (2) The Italian case :

Rational underlying distributions Let us work with : We also have :

Quadratic case We put : so that we get : Which gives :

Cubic case We now put : And compute :

The Belgian case

Graphically. Quadratic Negative binomial cubic observations

Distributions tails

The Italian case

Comparison of the models Cubic Quadratic Negative binomial

Conclusions Difference between theoretical and practical point of view : problem of the infinite variance Many other distributions possible Mixed geometrical distributions Open research