263 = 15 × 17 + 8 = + × ARITHMETIQUE I DIVISEURS ET MULTIPLES 1° Division euclidienne a) Effectuer la division euclidienne de 263 par 15 Diviseur Dividende 263 15 11 3 1 7 8 Quotient Reste 263 = 15 × 17 + 8 = + × Reste Dividende Diviseur Quotient

b) Effectuer la division euclidienne de 1288 par 23 13 8 5 6 Le reste est nul 1288 = 23 × 56 On dit alors que : ♦ 23 est un diviseur de 1288 ♦ 1288 est un multiple de 23

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠0 2°Définition a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠0 On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier n tel que a = n × b Exemple ♦ 60 = 5 × 12 Donc 12 est diviseur de 60 Les diviseurs de 60 sont : 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 ♦ 65 = 7 × 9 + 2 Donc 7 n’est pas un diviseur de 65 Donc 9 n’est pas un diviseur de 65 Le reste n’est pas nul

Nombre premier Un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs 1 et lui-même est un nombre premier Exemples 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 sont des nombres premiers

II Plus Grand Commun Diviseur 1° Activité. Ecrire la liste des diviseurs de 42: 1 2 3 6 7 14 21 42 Ecrire la liste des diviseurs de 30 1 2 3 5 6 10 15 30 Les diviseurs communs à 42 et 30 sont : 1 2 3 6 le Plus Grand Commun Diviseur à 42 et 30 est 6 On note PGCD( 42 ; 30) = 6

2°Définition. a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Le plus grand commun diviseur aux nombres a et b s’appelle le PGCD et se note PGCD( a ; b ) Remarques : PGCD ( a ; a ) = a PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a ) Si b est un diviseur de a alors PGCD ( a ; b ) = b

3° Détermination du PGCD avec la liste des diviseurs Déterminer le PGCD de 42 et 70 Diviseurs de 42 Diviseurs de 70 1 42 1 70 2 21 2 35 3 14 5 14 6 7 7 10 Diviseurs communs a 70 et 42 : 1 2 7 14 PGCD(70 ; 42 ) = 14

4° Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successives a) Les diviseurs communs a 70 et 42 sont : 1 2 7 14 b) Cherchons les diviseurs communs a 42 et 70 – 42 Diviseurs de 42 : 1 2 3 6 7 14 21 42 Diviseurs de 28 : 1 2 4 7 14 28 Diviseurs communs : 1 2 7 14 Ce sont les mêmes Donc PGCD (70 ; 42) = PGCD( 42 ; 70 – 42 ) c) Nous admettrons Quelques soient les nombres entiers a et b avec a > b PGCD( a ; b) = PGCD( b ; a - b)

d) Application Déterminer le PGCD des nombres 255 et 102 PGCD ( 255 ; 102 ) = PGCD ( 102 ; 255- 102 ) = PGCD ( 102 ; 153 ) = PGCD ( 153 ; 102 ) = PGCD ( 102 ; 153 -102 ) = PGCD ( 102 ; 51 ) = PGCD ( 51 ; 102-51) = PGCD ( 51 ; 51) = 51 PGCD ( 255 ; 102 ) = 51

5° Calcul du PGCD par l’algorithme d’EUCLIDE a) Nous admettons: Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs avec a > b. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) b) Application : Déterminer le PGCD des nombres 770 et 198

770 198 198 176 176 3 PGCD ( 770 ; 198 ) = PGCD ( 198 ; 176 ) 176 22 22 1 PGCD ( 198 ; 176 ) = PGCD ( 176; 22) 8 Donc 22 est un diviseur de 176 Le reste est nul. Donc PGCD ( 176 , 22 )= 22 D’où PGCD ( 770 ; 198 ) = 22

6° Définition. Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD = 1 7° Rendre une fraction irréductible a) Définition Si le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux alors cette fraction est IRREDUCTIBLE

221 323 b) Réduire la fraction ♦ On calcule le PGCD des nombres 323 et 221 323 221 102 1 221 102 221 323 17 x 13 17 x 19 13 19 D’où = = 17 2 102 17 Fraction irréductible 6 PGCD ( 323 ; 221 ) = 17