«  Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre » échanges et analyse de pratiques autour du QSort Equipe de circonscription Aix-Sud Intro préciser les sources + progression sur site Maths aca

irrégularités de la numération orale Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ① Le système de numération oral est différent du système de numération écrit. VALIDE irrégularités de la numération orale « quatre mille deux cents douze » travailler explicitement sur les unités et le principe décimal de position l’unité n’est pas codée par un code mais par sa position  une erreur classique : 528 est la juxtaposition de 5u2u8u Oraliser la numération écrite (décomposer, recomposer, convertir) 528 c’est 5c2d8u – 3d6u c’est 36 – 42 c’est 42u – 323 c’est 32d3u… La numération écrite conjugue 2 aspects : positionné décimal Equipe de circonscription Aix-Sud

Onze est issu du latin « undecim » littéralement « un plus dix » Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre » ② Il convient de travailler explicitement sur les irrégularités de la numération orale. VALIDE La numération orale en français combine la base 10, la base vingt et des héritages linguistiques. Onze est issu du latin « undecim » littéralement « un plus dix » Quatre-vingts c’est « quatre fois vingt » Vingt est issu du latin « viginti » de « vi » variante de « bi » et de « gint » signifiant « deux fois dix » c’est « quatre fois deux fois dix » Equipe de circonscription Aix-Sud

une base décimale jusqu’à 69 (et pas septante - octante - nonante) Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ② Il convient de travailler explicitement sur les irrégularités de la numération orale. Le français standard se distingue des autres langues indoeuropéennes et néo-latines par un double système de numération orale : une base décimale jusqu’à 69 (et pas septante - octante - nonante) une base vigésimale pour les dizaines de 80 à 99 + une complexité étymologique On n’entend pas « deux » dans le mot « vingt » alors que dans « trente » on reconnaît « trois ». Equipe de circonscription Aix-Sud

Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ③ En base 4, « 23,3 + 13,2 = 102,5 » ERRONEE « quatraine » unité « quart » 2 3 + 1 retenue = Equipe de circonscription Aix-Sud Le travail dans une autre base permet d’approcher la complexité de la numération « de base » et de position dans la construction du nombre. Cela permet également de mieux distinguer la notion de chiffre de celle de nombre

mais il faut absolument que les parts soient égales. Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ④ Lorsqu’on partage une unité en trois parts et qu’on prend deux parts, on obtient une quantité égale à deux tiers de l’unité. DOUTEUSE Lorsque le partage de l’unité se fait en un certain nombre de parts et que l’on prend un nombre de telles parts, on parle de fraction mais il faut absolument que les parts soient égales. Equipe de circonscription Aix-Sud

⑤ Le quart de trois est égal à trois quarts. VALIDE Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑤ Le quart de trois est égal à trois quarts. VALIDE Trois quarts c’est 3 fois le quart de 1 (fraction partage) Le nombre total de parts est donné par le dénominateur. Le numérateur donne le nombre de parts que l’on prend. ¾ : Je partage la tarte en 4 parts, j'en prends 3 Le quart de trois c’est 3 divisé en 4 (fraction quotient) 3/4 : on va partager 3 tartes en 4 parts égales Equipe de circonscription Aix-Sud

C’est le contraire : c’est le nombre qui, multiplié par 7, donne 12 Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑥ Le nombre fractionnaire 12/7 est le nombre qui multiplié par 12 donne 7. ERRONEE C’est le contraire : c’est le nombre qui, multiplié par 7, donne 12 La fraction se désigne par un quotient qui multiplié par le dénominateur est égal au numérateur. Pour mémoriser cette propriété, utiliser les fractions décimales. 12/10 = 1,2 et 1,2x10 =12 Equipe de circonscription Aix-Sud

« 3unités 2dixièmes 5millièmes » Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑦ Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux. VALIDE 3,205 Il est intéressant en numération parlée de lire les décimaux « 3unités 2dixièmes 5millièmes » avant de verbaliser la virgule «3 virgule 205 » et de remobiliser régulièrement cette lecture. Equipe de circonscription Aix-Sud

1 est une puissance de 10 10° = 1 n° = 1 Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑧ La fraction 9/1 est une fraction décimale. VALIDE 1 est une puissance de 10 10° = 1 n° = 1 Equipe de circonscription Aix-Sud

Structurer les représentations des entiers et des décimaux Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑨ Les entiers s’écrivent comme des multiples de 10 de l’unité simple, les décimaux s’écrivent comme des quotients de 10 de l’unité simple. VALIDE X 10 ÷ 10 mille centaines dizaines unité dixièmes centièmes millièmes Equipe de circonscription Aix-Sud Structurer les représentations des entiers et des décimaux à partir d’une symétrie autour de l’unité simple plutôt qu’autour de la virgule qui n’a pas de réalité opératoire

L’usage social des grandeurs (prix, taille, masse…) Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑩ Un nombre décimal est la juxtaposition de deux entiers séparés par une virgule. ERRONEE L’usage social des grandeurs (prix, taille, masse…) peut induire qu’un décimal soit conçu comme la juxtaposition de 2 entiers. pour 2,50 m on dit « deux mètres cinquante » au lieu de « deux mètres cinquante centimètres » décomposer 2,50m = 2m + 0,50m erreurs classiques : 4,72 > 4.8 5,34 x 10 = 50,34 1,99 + 0,1 = 1,100 Il faut oraliser : « une unité neuf dixièmes neuf centièmes » plus « un dixième » font « deux unités neuf centièmes » Equipe de circonscription Aix-Sud

Attention aux « règles » que l’élève élabore implicitement et Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑪ Pour les entiers, multiplier par 10 revient à décaler la virgule d’un rang vers la droite. DOUTEUSE Cette « règle » est celle des décimaux, cependant si on écrit un entier sous sa forme décimale… Attention aux « règles » que l’élève élabore implicitement et qu’il transfère dans d’autres situations. erreurs classiques : 3,25 x10 = 3,250 3,25 x 10 = 30,25 Equipe de circonscription Aix-Sud

dont le dénominateur est une puissance de 10 Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre ⑫ Tous les nombres décimaux peuvent s’écrire sous forme d’une fraction. VALIDE L’ensemble des nombres décimaux comprend tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 Tous les entiers sont des décimaux Toutes les fractions ne sont pas des décimaux Equipe de circonscription Aix-Sud

- - N : Naturels Z : Relatifs D : Décimaux Q : Rationnels R : Réels Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre » - - Equipe de circonscription Aix-Sud N : Naturels Z : Relatifs D : Décimaux Q : Rationnels R : Réels

Avant d’aborder les fractions puis les nombres décimaux, Numération décimale, fractions et décimaux : continuités et ruptures dans la construction du nombre Conclusion Avant d’aborder les fractions puis les nombres décimaux, vérifier que les élèves maîtrisent la numération décimale de position. Equipe de circonscription Aix-Sud