Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction (2) Professeur Patrick VAUDON Université de Limoges - France 1

Un exemple plus complexe: un dipôle au dessus d’un demi-plan Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus d’un demi-plan de masse infini et parfaitement conducteur ? r  dipôle h La résolution directe par les équations de MAXWELL est très difficile à cause des conditions aux limites imposées par le plan de masse. 2

Dipôle sur un demi-plan  dipôle h Le champ au point d’observation P peut se calculer par une méthode de rayon en sommant un rayon incident et un rayon réfléchi. 3

Dipôle sur un demi-plan Si on place le point d’observation derrière le demi-plan : h P Le champ au point d’observation P, calculé par une méthode optique, est nul. Ce résultat est manifestement faux : expliquer et illustrer (avec différents types d’ondes) Comment peut-on essayer d’obtenir un résultat correct par une méthode de rayons? 4

Dipôle sur un demi-plan Si on place le point d’observation derrière le demi-plan : h P Le champ ne peut être calculé que si on est capable de définir un rayon diffracté. Le calcul est trop complexe avec un dipôle. Par contre, il est possible avec une onde plane qui tombe sur le demi-plan 5

Théorie géométrique de la diffraction Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons diffractés 6

Théorie géométrique de la diffraction Définition : La Théorie géométrique de la diffraction peut être considérée comme le prolongement de l’optique géométrique qui prend en compte des rayons diffractés 7

Théorie géométrique de la diffraction La recherche des rayons qui parviennent de la source au point d’observation Source Point d’observation Obstacle 1 Obstacle 2 Rayons : -----Directs -----Réfléchis -----Diffractés 8

Théorie géométrique de la diffraction La cohérence de la théorie est basée sur trois postulats : 1 – La diffraction est un phénomène local aux hautes fréquences 2 – Les rayons diffractés obéissent au principe de FERMAT 3 – Les rayons diffractés obéissent aux lois de l’optique géométrique P Cône de rayons diffractés Q rayon incident M 9

Théorie géométrique de la diffraction Exemple de rayons pour un demi-plan illuminé par une onde plane Rayons réfléchis Rayons incidents Demi-plan parfaitement conducteur Rayons diffractés Pour pouvoir calculer le champ total entourant l’arête du demi-plan par une méthode optique, il faut connaître les caractéristiques du rayon diffracté. 10

Théorie géométrique de la diffraction Diffraction d’une onde plane par un demi-plan Description du problème y     P   0 x Onde plane incidente : Comment est le champ magnétique ? Vérifier que la relation ci-dessus caractérise une onde plane incidente dans la direction 0 11

Théorie géométrique de la diffraction Diffraction d’une onde plane par un demi-plan Description du problème y P   0 0 x Champ réfléchi au point P : Vérifier que la relation ci-dessus caractérise le champ réfléchi au point P pour une onde plane incidente dans la direction 0 Vérifier les conditions aux limites sur le plan de masse 12

Théorie géométrique de la diffraction Diffraction d’une onde plane par un demi-plan y P   0 x Il reste à définir le comportement du rayon diffracté : on utilise la solution de SOMMERFELD 13

Théorie géométrique de la diffraction Diffraction d’une onde plane par un demi-plan On identifie dans la solution de SOMMERFELD (avec E0 = 1) Le champ incident : Le champ réfléchi : Et un terme que l’on associe au champ diffracté : 14

Théorie géométrique de la diffraction Diffraction d’une onde plane par un demi-plan K_(x) est une fonction spéciale définie à partir de l’intégrale de FRESNEL : Il s’agit d’une fonction complexe d’une variable réelle : Propriété importante : K_(0) = 1/2 Exercice : Développer la fonction K_ en partie réelle et partie imaginaire 15

Théorie géométrique de la diffraction Différentes zones pour un demi-plan illuminé par une onde plane Champ total = Champ incident + Champ réfléchi Champ diffracté en polarisation électrique Région 1 Champ total = Champ incident + Champ diffracté Région 3 en polarisation magnétique Région 2 Champ total = Champ diffracté Y : échelon unité 16

Théorie géométrique de la diffraction On peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.  Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5. 17

Théorie géométrique de la diffraction On peut calculer le champ total qui entoure un demi-plan illuminé par une onde plane à l’aide d’une méthode de rayons.  Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête :  = 5. 18

Théorie géométrique de la diffraction Polarisation magnétique Comparaison du champ total autour de l’arête d’un demi-plan Polarisation électrique angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5. 19

Théorie géométrique de la diffraction Polarisation magnétique Comparaison du champ total autour de l’arête d’un demi-plan Polarisation électrique angle d’incidence 0 = 120° - Distance de l’arête :  = 5. 20

Théorie géométrique de la diffraction Exemple de vérification Pourquoi le champ total est-il maximum en ce point :  = 5 ,  = 65°  Pourquoi le champ total est-il nul en ce point :  = 5 ,  = 90° Polarisation électrique – angle d’incidence 0 = 30° - Distance de l’arête :  = 5. 21

Théorie géométrique de la diffraction Exemple de vérification  = 5 d1 0 = 30° Différence de marche : d = d1 – d2 = 5 22