Introduction à la Théorie géométrique de la diffraction Professeur Patrick VAUDON Université de Limoges - France 1

Théorie géométrique de la diffraction Définition : Méthode de calcul dite asymptotique, c’est à dire d’autant plus exacte que la fréquence est plus élevée. Concrètement : il s’agit de méthodes de calcul du champ électromagnétique, intermédiaires entre les méthodes à formulation rigoureuses et les méthodes optiques. 2

Les besoins de calculs du champ électromagnétique Diagramme de rayonnement des antennes. Analyse du canal de propagation. Calculs de surface équivalente radar. Calculs des niveaux des parasites électromagnétiques (compatibilité EM) IEMN, MPF, guerre électronique, etc ….. 3

Les méthodes de calcul du champ électromagnétique Les méthodes exactes (Solutions exactes des équations de MAXWELL) (Solutions peu nombreuses) Les méthodes rigoureuses à formulation numérique (Discrétisation des équations de MAXWELL) (Volume de calcul limité) Les méthodes asymptotiques (TGD, Optique physique) (Méthodes approchées) Ce sont les seules méthodes utilisables pour traiter des objets dont les dimensions sont grandes devant la longueur d’onde. 4

Exemple de calcul avec un dipôle Dipôle : fil dont la longueur est très inférieure à la longueur d’onde Diagramme de rayonnement en espace libre : F( ) = |sin( )| avec une symétrie de révolution autour du fil Champ électrique rayonné à grande distance : 5

Exemple de calcul avec un dipôle Diagramme de rayonnement en espace libre 6

Exemple de calcul avec un dipôle Problème : comment rayonne un dipôle situé à une hauteur h au-dessus d’un plan de masse infini et parfaitement conducteur ? r  dipôle h La résolution directe par les équations de MAXWELL est difficile à cause des conditions aux limites imposées par le plan de masse. 7

Exemple de calcul avec un dipôle On va utiliser une méthode d’optique géométrique P r  dipôle h Rayon direct : Rayon réfléchi ? 8

Exemple de calcul avec un dipôle r  dipôle h d d = 2h cos( ) Rayon réfléchi : avec 9

Exemple de calcul avec un dipôle Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de mase r  dipôle h 10

Exemple de calcul avec un dipôle Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse Diagramme de rayonnement du dipôle au-dessus du plan de masse 11

Exemple de calcul avec un dipôle Champ total rayonné par le dipôle au-dessus du plan de masse h=0.75 h=0.1 h=0.5 h=1.5 h=1.25 h= 12

Exemple de calcul avec un dipôle Expliquer pourquoi, pour h = , le rayonnement est sensiblement nul dans la direction  = 75° P r  dipôle r2 h=  r1 (r1+r2) – r = k /2 13

L’optique géométrique Toutes les sources ne rayonnent pas de manière sphérique comme dans l’exemple précédent : exemple : lampe de poche, laser ….. L’optique géométrique précise comment évolue le champ électromagnétique lorsqu’on se déplace le long d’un rayon. On montre que d’un point de vue théorique, l’optique géométrique est une solution asymptotique des équations de MAXWELL lorsque la fréquence tend vers l’infini. 14

L’optique géométrique Théorie scalaire Rayons = Direction de Propagation De l’énergie Front d’onde = Surface équiphase Notion de front d’onde et de rayon 15

L’optique géométrique Théorie scalaire Un tube de rayons transporte une énergie constante rayon axial rayon paraxial P1 . d1 = P2 . d2 P2 d2 avec 2 P1 soit d1 1 E12 . d1 = E22 . d2 16

L’optique géométrique Théorie scalaire d2 d1 O2 O1 1 1 + R 2 2 + R On montre que les surfaces infinitésimales sont liées par la relation 17

L’optique géométrique Théorie scalaire d2 d1 O2 O1 1 1 + R 2 2 + R On en déduit la relation qui relie ponctuellement l’amplitude du champ : 18

L’optique géométrique Théorie scalaire d2 d1 O2 O1 1 2 1 + R 2 + R Quelques cas particuliers   - 1 = 2 =  onde plane  - 1 ou 2 =  onde cylindrique - 1 = 2 finis onde sphérique - 1 , 2 finis quelconques onde astigmate 19

L’optique géométrique Théorie vectorielle Définition d’une base vectorielle associée à chaque rayon afin de préciser la polarisation de l’onde   i r Q -  : vecteur unitaire dans la direction de propagation -  : vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’incidence -  : vecteur inclus dans le plan d’incidence formant un trièdre direct avec les deux autres et vérifiant : 20

L’optique géométrique Théorie vectorielle Expression vectorielle des champs i r Q Les conditions aux limites imposent sur le plan parfaitement conducteur : Ei// = Er// et Ei = - Er 21

L’optique géométrique Théorie vectorielle Réflexion d’une famille de rayons P sr 1i 2i Q 2r 1r 22

L’optique géométrique Le principe de FERMAT « La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples » Pierre de FERMAT (1657) FERMAT a émis le principe selon lequel, parmi l’infinité des trajets  possibles de la source au point d’observation, la lumière choisie le trajet tel que le chemin optique soit stationnaire par rapport à toute modification infinitésimale de ce trajet. y B Observation(0,5) Miroir vertical A Source (0,2) M2 M1 5 10 (0,0) x Miroir horizontal 23

L’optique géométrique Le principe de FERMAT y A Source (0,2) M Observation ( 4,0) x B A 1 n1 M O n2 2 B 24