STATIQUE AVEC FROTTEMENT TERMINALE GENIE MECANIQUE STATIQUE AVEC FROTTEMENT

Les lois sur le frottement découlent de l’expérimentation de COULOMB. 1.INTRODUCTION Dans les chapitres précédents, les actions mécaniques de contact ont été schématisées par des vecteurs (forces) perpendiculaires (ou normaux) aux surfaces de contact, les frottements étaient négligés. Cette schématisation amène des erreurs systématiques relativement faible dans la plupart des problèmes. Cependant, dans un certain nombre de cas, la prise en compte du frottement est nécessaire, soit pour diminuer les effets (pertes d’énergie, amélioration du rendement, etc...), soit pour l’utiliser avec bénéfice (freins, embrayages, poulies-courroies, arc-boutement, etc...). Les lois sur le frottement découlent de l’expérimentation de COULOMB.

{τpes} 1 Solide S isolé 1 G B.A.M.E. P (G,R) 2.CONSTATATIONS 2.1. Equilibre sur un plan horizontal, 1 d’un solide S au repos Solide S isolé 1 G P B.A.M.E. ● Action de pesanteur (G,R) {τpes} 0 inconnue

{τpes} Solide S isolé B.A.M.E. 1 G A (G,R) f0/1 P N D’où {τ0/1} (A,R) 2.CONSTATATIONS 2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide S au repos Solide S isolé 1 B.A.M.E. ● Action de pesanteur (G,R) {τpes} 0 inconnue G P A N f0/1 ● Action de contact La répartition de l’action de contact est inconnue. On pose N = ∑ f0/1 (A,R) D’où {τ0/1} ● direction 3 inconnues ● point d’application A ● norme

{τpes} Solide S isolé 1 G (G,R) A {τ0/1} P (A,R) N N 2.CONSTATATIONS 2.1. Equilibre sur un plan horizontal,d’un solide S au repos Solide S isolé 1 ● Action de pesanteur (G,R) 0 inconnue {τpes} G P A N ● Action de contact (A,R) {τ0/1} 3 inconnues Théorème 1: N ● direction verticale ● norme =mg ● A: intersection de la verticale passant par G avec le plan de contact

{τpes} {τ(F)} F F 1 Solide S isolé 1 B G B.A.M.E. P (G,R) (B,R) 2.CONSTATATIONS Si on exerce un effort F horizontal de norme connue sur 1, trois cas se présentent: 2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement) 1 F Solide S isolé 1 F B G P B.A.M.E. ● Action de pesanteur (G,R) {τpes} 0 inconnue (B,R) {τ(F)} ● Effort F 0 inconnue

{τpes} {τ(F)} {τ0/1} F R0/1 Solide S isolé B.A.M.E. 1 B G A (G,R) P 2.CONSTATATIONS 2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement) Solide S isolé 1 B.A.M.E. ● Action de pesanteur F B (G,R) {τpes} 0 inconnue G P R0/1 A (B,R) {τ(F)} ● Effort F 0 inconnue ● Action de contact de 0/1 (A,R) {τ0/1} ● direction 3 inconnues ● point d’application A ● norme

{τpes} {τ0/1} {τ(F)} F R0/1 R0/1 F Solide S isolé 1 I B G A P P 2.CONSTATATIONS 2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement) (G,R) {τpes} {τ(F)} Solide S isolé 1 (B,R) F B I {τ0/1} (A,R) G P P R0/1 R0/1 A F P.F.S.: Système en équilibre sous l’action de trois glisseurs (théorème 2) ● (le dynamique formé par les trois résultantes est fermé) (les trois supports sont coplanaires et concourants en un même point I) ●

2.CONSTATATIONS 2.2. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement) Solide S isolé 1 Tendance au mouvement F I Remarque : si F augmente, R0/1 A R0/1 A B  augmente, G P P R0/1 R0/1 A se déplace. α α α α F F R0/1 est incliné d’un angle α par rapport à la normale au plan de contact de 0-1, du coté opposé à la tendance au déplacement de 1 par rapport à 0

Flim F R0/1 R0/1 R0/1 R0/1 Solide S isolé 1 I B G A P φo P α 2.CONSTATATIONS 2.3. Solide 1 est à la limite du glissement: équilibre strict (pas de mouvement) Solide S isolé 1 Tendance au mouvement Flim R0/1 F R0/1 I Si on augmente F jusqu’à une valeur Flim, R0/1 A R0/1 A A B G P P on constate que  augmente (pour atteindre une valeur limite φo appelé angle d’adhérence) φo α Nous avons équilibre d’où: ● ●

Flim R0/1 R0/1 Solide S isolé 1 I B G A tan(φo) = fo P φo P 2.CONSTATATIONS 2.3. Solide 1 est à la limite du glissement: équilibre strict (pas de mouvement) Solide S isolé 1 Tendance au mouvement Flim R0/1 R0/1 est incliné d’un angle φo (angle d’adhérence) I R0/1 A A B G P P On pose : tan(φo) = fo φo fo: coefficient d’adhérence φo est la limite supérieure d’inclinaison de R0/1 par rapport à la normale au plan de contact de 0-1 Equilibre : ● ●

F R0/1 R0/1 φ = φ0 et f = f0 Flim Solide S isolé 2.CONSTATATIONS 2.4. Solide 1 n’est plus en équilibre: (mouvement par rapport à 0) On exerce une force F supérieure à Flim, Solide S isolé 1 φ est légèrement inférieur à φo, mais dans de très nombreux cas, on pose Mouvement F I Nous n’avons plus équilibre d’où: φ R0/1 A A B G P P R0/1 φ Le triangle des forces n’est plus fermé φ = φ0 et f = f0 Flim R0/1 est incliné d’un angle φ (angle de frottement) φ reste constant lorsque F augmente On pose : tan(φ) = f f: coefficient de frottement

{τ0/1} N0/1 >0 et T0/1 dans le plan tangent T0/1 R0/1 F n 1 G A 3.MODELISATION DE L’ACTION DE CONTACT AVEC FROTTEMENT {τ0/1} (A,R) n N0/1 >0 et T0/1 dans le plan tangent 1 P R0/1 A α G F ● Si équilibre stable: avec α <φ N0/1 T0/1 ● Si équilibre strict: f: coefficient d’adhérence ● Si mouvement f: coefficient de frottement

α < φ R0/1 T0/1 α n N0/1 1 G A 4.LOIS DE COULOMB 4.1. Solide 1 en équilibre stable (pas de mouvement :adhérence) Tendance au mouvement  La force d’adhérence T0/1 s’oppose au mouvement éventuel de 1 par rapport à 0 α n  R0/1 fait un angle α avec la normale n N0/1 R0/1 1 R0/1 est contenu dans le cône d’adhérence (cône d’axe n et de demi-angle au sommet φ) G A ║T0/1 ║ < f.N0/1 T0/1 α < φ

4.LOIS DE COULOMB 4.2. Solide 1 en équilibre limite ou équilibre strict (pas de mouvement :adhérence) Tendance au mouvement  La force d’adhérence T0/1 s’oppose au mouvement éventuel de 1 par rapport à 0 φ n  R0/1 est situé sur le cône d’adhérence N0/1 R0/1 1 ║T0/1 ║ = f.N0/1 G A f: coefficient d’adhérence T0/1 α = φ φ: angle d’adhérence f = tan(φ)

4.LOIS DE COULOMB 4.3. Le solide 1 glisse : pas d’équilibre (mouvement :frottement)  La force de frottement T0/1 est opposé au mouvement de 1 par rapport à 0 Mouvement φ n  R0/1 est situé sur le cône de frottement N0/1 R0/1 1 ║T0/1 ║ = f.N0/1 G A f: coefficient de frottement T0/1 α = φ φ: angle de frottement f = tan(φ)

5.COEFFICIENT DE FROTTEMENT f dépend essentiellement: ● de la nature des matériaux en contact ● de leur état de surface (rugosité, sens des stries) ● de la présence ou non de lubrifiant ● de la vitesse relative de déplacement des surfaces de contact. f ne dépend pas: ● de l’intensité des efforts exercés (poids des pièces) ● de l’étendue des surfaces de contact (pression de contact)

Nature des matériaux en contact Lubrification f Acier sur acier Surfaces sèches Graissage abondant 0,1 0,07 Acier sur fonte Surfaces graissées 0,19 Acier sur bronze 0,11 0,05 Garniture de frein sur fonte 0,35 - 0,4 Pneu voiture sur route Route sèche Route mouillée 0,6 - 0,7 0,35 - 0,6

φ EQUILIBRE STABLE 5.INTERPRETATION DES RESULTATS 1er cas: Si on déduit des équations d'équilibre que: est dans le cône (<) ║T0/1 ║ = tan(α).N0/1 φ A est incliné à gauche (par exemple) Alors: il y a adhérence et tendance au déplacement vers la droite. EQUILIBRE STABLE

φ EQUILIBRE STRICT 5.INTERPRETATION DES RESULTATS 2ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que: est sur le cône (=) ║T0/1 ║ = tan(φ).N0/1 φ A est incliné à gauche (par exemple) Alors: il y a équilibre strict et tendance au déplacement vers la droite. EQUILIBRE STRICT

IMPOSSIBLE φ MOUVEMENT 5.INTERPRETATION DES RESULTATS 3ème cas: Si on déduit des équations d'équilibre que: est en dehors du cône (>) IMPOSSIBLE Cône de frottement φ A est incliné à gauche (par exemple) Alors: l’équilibre est impossible et il y a glissement vers la droite. MOUVEMENT est sur le du cône de frottement (>)

TAPIS ROULANT INCLINE Un tapis roulant, incliné d'un angle  = 10°, déplace à vitesse constante des pièces 1 de forme parallélépipédique de masse m = 10 kg. Le coefficient d'adhérence entre la pièce 1 et le tapis 2 est: f = 0,3. 1. Déterminer les composantes de la résultante des actions de contact dans le repère R1 (G, ) Représenter cette action en A, point où le torseur associé aux actions de contact de 2/1 est réductible à un glisseur : {2/1} = { }A 2. Vérifier graphiquement que l'entraînement des pièces se fait sans glissement. 3. Déterminer l'angle maximal d'inclinaison du tapis pour avoir un entraînement à la limite du glissement.

{τpes} {τ2/1} Isolement de 1 P.F.S. (théorème 1) B.A.M.E. A2/1 A P α ● Action de pesanteur Forces directement opposées (G,R) {τpes} 0 inconnue A2/1 (G,R1) α P ● Action de contact de 2/1 A (A,R1) {τ2/1} 3 inconnues Point A Direction Intensité (A,R1)

Vérification du non glissement de 1 3 10 φ Triangle d’adhérence A2/1 se trouve à l’intérieur du triangle d’adhérence donc la pièce 1 ne glisse pas (elle est en équilibre stable). A2/1 A A2/1 Pour avoir l’angle d’inclinaison maximal, il faut que se trouve sur le triangle d’adhérence (équilibre strict) donc αmax = φ

SOLIDE SUR UN PLAN INCLINE On désire déplacer un solide 1 de forme parallélépipédique et de masse m = 25 kg sur un plan incliné d'un angle  = 15°, en exerçant un effort appliqué en A. Le coefficient de frottement entre la pièce 1 et le plan incliné 0 est: f = 0,2. On prendra g = 10 m/s². 1. Dans le cas où F est nul, le solide 1 est-il en équilibre? Justifier. 2. Déterminer l'effort F minimal pour déplacer le solide, ainsi que l'action de contact.

Triangle de frottement Isolement de 1 B.A.M.E. 2 10 ● Action de pesanteur Triangle de frottement φ (G,R) {τpes} (G,R) R0/1 0 inconnue ● Action de 0/1 (B,R) (B,R) {τ0/1} B 3 inconnues Point B Direction Intensité P.F.S. (théorème 1) R0/1 est en dehors du triangle de frottement Forces directement opposées Il n’y a pas d’équilibre

{τpes} {τ(F)} {τ0/1} Isolement de 1 B.A.M.E. P.F.S. (théorème 3) B ● Action de pesanteur (G,R) {τpes} (G,R) φ 0 inconnue ● Action de contact (F) I (A,R) {τ(F)} (A,R) B 1 inconnue (norme) ● Action de 0/1 (B,R) (B,R) {τ0/1} 2 inconnues Point B P.F.S. (théorème 3) Intensité

║R0/1 ║ = 246 N ║F ║ = 113 N φ I B

ECHELLE CONTRE UN MUR Soit une échelle de 4,80 m posée contre un mur et inclinée de 35°. Le coefficient d'adhérence entre l'échelle et le sol est : f1= tan 1 = 0,25. Le contact en B est un contact ponctuel parfait de normale, l'horizontale. Le poids de l'échelle et d'une personne est de 100 daN appliqué en G. 1. Isoler l’ensemble S={échelle + personne) et déterminer graphiquement si l'équilibre est possible lorsque la personne se trouve au milieu de l’échelle (voir figure). Justifier votre réponse.

{τpes} {τM/E} {τS/E} ECHELLE CONTRE UN MUR B.A.M.E. y x Le support de l’action en A est en dehors du triangle d’adhérence donc pas d’équilibre ● Action de pesanteur I (G,R) {τpes} (G,R) 2,5 10 0 inconnue φ ● Action de Mur/Echelle (B,R) {τM/E} (B,R) y P 1 inconnue (Intensité) ● Action de Sol/Echelle (A,R) {τS/E} (A,R) x 2 inconnues P.F.S. (théorème 3) Direction ; Intensité

{τpes} {τM/E} {τS/E} ECHELLE CONTRE UN MUR B.A.M.E. y x Le support de l’action en A est à l’intérieur du triangle d’adhérence donc il y a EQUILIBRE ● Action de pesanteur I (G,R) {τpes} (G,R) 5,7 10 0 inconnue φ ● Action de Mur/Echelle (B,R) {τM/E} (B,R) y P 1 inconnue (Intensité) ● Action de Sol/Echelle (A,R) {τS/E} (A,R) x 2 inconnues P.F.S. (théorème 3) Direction ; Intensité

ECHELLE CONTRE UN MUR y x BM/E AS/E ║BM/E ║ = 35 daN ║AS/E ║ = 106 daN Le support de l’action en A doit être sur le triangle d’adhérence pour avoir EQUILIBRE STRICT I BM/E 5,7 10 P AS/E φ G limite y P x ║BM/E ║ = 35 daN ║AS/E ║ = 106 daN

FIN