Diffusion thermique I) Les différents modes de transfert thermique

Lorsque deux corps en contact sont à des températures différentes, il y a transfert thermique du plus chaud vers le plus froid.

Diffusion thermique I) Les différents modes de transfert thermique 1) La conduction

Cette élévation de température correspond à un accroissement de : L’énergie microscopique de vibration du réseau cristallin pour les solides. L’énergie cinétique d’agitation désordonnée pour les fluides.

Diffusion thermique I) Les différents modes de transfert thermique 1) La conduction 2) La convection

Diffusion thermique I) Les différents modes de transfert thermique 1) La conduction 2) La convection 3) Le rayonnement thermique

Récapitulatif Milieu Conduction thermique Convection Rayonnement Vide Non Oui Solide Fluide

Diffusion thermique I) Les différents modes de transfert thermique 1) La conduction 2) La convection 3) Le rayonnement thermique 4) Équilibres thermiques

Diffusion thermique II) La loi de Fourier 1) Diffusion thermique : Loi de Fourier a) Vecteur densité de flux thermique

Surface mésoscopique dS 2Q = jTh.dS.dt jth 2Q = .dt dS M Surface mésoscopique dS

 = .dS   dS M jTh(M) P d +

Diffusion thermique II) La loi de Fourier 1) Diffusion thermique : Loi de Fourier a) Vecteur densité de flux thermique b) Loi de Fourier

Deux observations qualitatives : La diffusion thermique cesse lorsque la température T(M,t) est homogène ; M, jTh doit s'annuler lorsque gradT = 0 Conformément au 2ème Principe, la diffusion thermique ainsi que jTh est dirigée des régions chaudes vers les régions froides, i-e dans le sens des températures décroissantes ou dans le sens opposé à gradT.

Loi locale de diffusion de Fourier En M, à la date t : jTh = – .gradT

Ordres de grandeur : Les métaux bons conducteurs :   200 – 400 W.m–1.K–1 ; Les mauvais conducteurs :   10 W.m–1.K–1 ; Les non – conducteurs (verre) :   1 W.m–1.K–1 ; Les gaz :   10–2 W.m–1.K–1 ; Les isolants thermiques :   10–3 – 10–2 W.m–1.K–1 ;

Diffusion thermique II) La loi de Fourier 1) Diffusion thermique : Loi de Fourier 2) Rappels sur la diffusion de charges : Loi d’Ohm locale

d = v.dS.dt 2Q = q.n*.d = q.n*.v.dS.dt dS v dr = v.dt

  dS M j(M) P d +

Diffusion thermique II) La loi de Fourier 1) Diffusion thermique : Loi de Fourier 2) Rappels sur la diffusion de charges : Loi d’Ohm locale 3) Récapitulatif

Récapitulatif Loi de Fourier Loi de Fick Loi d’Ohm jTh vecteur densité de flux thermique jN vecteur densité de flux de particules j vecteur densité de courants électriques hétérogénéité de température T hétérogénéité de densité volumique de particules n hétérogénéité de potentiel V conductivité thermique  coefficient de diffusion D conductivité électrique  jTh = – .gradT jN = – D.gradn j = – .gradV

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) La diffusion unidimensionnelle

x 1 x + dx 2 dS1 S dS2 S ux jTh Q(x + dx,t) Q(x,t) Q(x,t) = Q(x + dx,t) =

dS1 S Q(x,t) jTh ux x 1 x + dx 2 dS’2 S Q(x + dx,t) Q(x + dx,t) = –

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) La diffusion unidimensionnelle b) La diffusion tridimensionnelle ) Bilan global

M m = .d jTh(M,t) T(M,t)  V dS P jTh(P,t)

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) La diffusion unidimensionnelle b) La diffusion tridimensionnelle ) Bilan global ) Bilan local

Equation locale de la diffusion thermique En M, à la date t :

Equation locale de la diffusion thermique En M, à la date t :

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» 2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» 2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse a) Conservation de la charge

M q = .d j(M,t)  V dS P j(P,t)

Equation locale de la conservation de la charge En M, à la date t :

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) Conservation de la charge 2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse b) Conservation de la masse ) Le débit massique

d = v.dS.dt 2m = .d = .v.dS.dt dS v dr = v.dt

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) Conservation de la charge b) Conservation de la masse 2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse ) Le débit massique ) La conservation de la masse

M m = .d j(M,t)  V dS P j(P,t)

Equation locale de la conservation de la masse En M, à la date t :

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique 1) Équation dite de la «chaleur» a) Conservation de la charge b) Conservation de la masse 2) Analogie avec les conservations de la charge et de la masse c) Récapitulatif

Conservation de l’énergie Récapitulatif Conservation de l’énergie Conservation des particules Conservation de la charge Conservation de la masse Grandeur extensive Énergie interne U Nombre de particules N Charge électrique Q Masse M Grandeur intensive u* = .u l’énergie interne volumique dU = u*.d n la densité particulaire ou volumique dN = n.d  la charge volumique dQ = .d  la masse volumique dM = .d Équation bilan locale divjTh + = 0 divjN + = 0 divjélec + = 0 divjmas + = 0

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique a) La linéarité

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique a) La linéarité b) Unicité de la solution

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique b) Unicité de la solution a) La linéarité c) Irréversibilité

dS1 S jTh ux dS2 x 1 x + dx 2 Se(x + dx,t) Se(x,t)

Se(x,t) = Se(x + dx,t) =

Diffusion thermique III) Propriétés de la diffusion thermique c) Irréversibilité b) Unicité de la solution a) La linéarité d) Distance et temps caractéristiques

Diffusion thermique

largeur à mi – hauteur : 2 x T(x) – T0 Température  = 2 largeur à mi – hauteur : 2

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire – Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre a) Position du problème

Système : Une tranche de barreau entre les abscisses x et x + dx, entre les dates t et t + dt. 1 x + dx 2 Barreau O ux x dS1 dS2

2Q = Q(x,t) + Q(x + dx,t) x 1 x + dx 2 Barreau (x,t) (x + dx,t) O ux x dS1 dS2 Q(x,t) Q(x + dx,t) 2Q = Q(x,t) + Q(x + dx,t)

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre a) Position du problème b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

Résistance électrique La résistance électrique Résistance électrique V0 V1 U = V0 – V1 I U = Rélec.I

La résistance thermique T = T0 – T1 01 T = Rth.01

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique b) 1ère Conséquence : La résistance thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre a) Position du problème c) 2nde Conséquence : La loi de la température

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre 2) Conduction radiale dans un cylindre a) Position du problème

z O R0 R1

R1 R0 z r + dr r

Principe de Curie Une cause crée un effet. Le principe de Curie postule que l’effet a au moins les symétries et les invariances de la cause. Cette propriété est valable pour tous les vecteurs polaires et toutes les grandeurs scalaires.

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre a) Position du problème 2) Conduction radiale dans un cylindre b) 1ère Conséquence : La résistance thermique

La résistance thermique T = T0 – T1 01 T = Rth.01

Récapitulatif : 1. Régime stationnaire  pas de travail, W = 0,  pas de source interne  le flux se conserve ; 2. On combine la conservation du flux avec la loi de Fourier ; 3. On intègre l’équation différentielle précédente entre les bornes définies par le problème.

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre a) Position du problème 2) Conduction radiale dans un cylindre b) 1ère Conséquence : La résistance thermique c) 2nde Conséquence : La loi de la température

Diffusion thermique IV) Le cas stationnaire - Résistance thermique 1) Conduction longitudinale dans un cylindre 2) Conduction radiale dans un cylindre 3) Le transfert thermique par convection ou contact

Le transfert thermique par convection dS 2Q = h(T2 – T1)dS.dt T1 T2

Diffusion thermique V) Cas du régime sinusoïdal

La température de cave z Atmosphère Terre T0 + T1cost

pour t = et T x =