Université de la méditerranée Licence informatiques mathématiques Parcours mathématiques Rapport de recherche »maths en jeans1 » Suites symboliques Présenté par : Frédéric Doulepoff Mohamed Saïd Amine Badidi Mattei Manon

Introduction Dans le cadre de notre projet de recherche, nous avons été amenés à effectuer une recherche sur la définition d’une suite symbolique , étudier ses propriétés et comportements .

Sommaire Définition et méthodologies Difficultés de définition 30/11/2018 Sommaire Définition et méthodologies Difficultés de définition Choix d’étude des bases 2,3 Approfondissement des bases 3,2

Choix de la suite

30/11/2018 Méthode de travail Manon voulait s’en tenir à la suite « qui ne sert à rien » : la concaténation de multiplications. Exemple : 2 5 1 0 5 0 0 etc. Amine voulait nous soumettre autre chose mais qui n’était en fait pas réellement dans le sujet puisque ce n’était finalement qu’une « complication inutile de la multiplication ». Mohamed nous a alors proposé une suite qui ressemble à la première, mais qui cette fois, est le fruit de notre - ou plutôt sa - créativité

Définition de la suite: Allions-nous voir cette suite de façon purement arithmétique ou aussi géométrique ? Allions-nous la considérer en tant que suite ou fonction ? Pour étudier sa périodicité, nous décidons de l’exprimer comme une fonction à deux variables : Soit f la fonction définie de N dans N par f(x) = x² Soit g la fonction définie de N dans N par g(x,y) = x+y

Résultat : Nous avons alors dit que notre suite pouvait s’écrire : f(g(a), g(b))

Schema n°1 : modélisation de la suite

Explication du schéma : Définition de 3 fonctions C, D et U, qui respectivement représentent la centaine, la dizaine et l'unité. C(N), (ici C((Un-2)² + (Un-1)²)) représentera le chiffre de la centaine de celui ci. C((Un-2)² + (Un-1)²) = A On appelle A le chiffre de la centaine de ce que l'on obtiendra. On appelle B le chiffre de la dizaine que l'on obtiendra.

Les tests effectués : Si A est différent de 0 alors on aura un nombre a 3 chiffres : C(N) sera Un, D(N) sera Un+1. U(N) sera Un+2. Et puis on passe au rang suivant ! (représenté ici par un saut n+1) A = 0. On aura donc un nombre composé de 2 chiffres. Test n° 1

Test n°2 Si B est différent de 0, B sera égal a Un, U(N) (le chiffre de l'unité de N) sera Un+1. Et on passe de nouveau au rang suivant ! et on continue de descendre toujours plus bas. A = 0 et B = 0. Il ne nous reste donc qu’un seul chiffre U(N). Donc Un vaudra ce chiffre de l'unité U(n). Et là encore on passe au rang suivant ! Dans les 3 cas de passage au rang suivant, on revient a la définition de base du haut en faisant une boucle. Et on applique en boucle et en boucle... Test n°2

DEFFICULTES DE DEFINITION

Nous nous sommes rendus compte que nous n’avions pas de vraie définition mathématique. Seulement, quand nous avons essayé nous nous sommes heurtés à des difficultés puis à des échecs.

Présentation des difficultés Difficultés à étudier la base 10 problème d’écrasement : exemple explicatif du problème : 2 5 2 9 2 9 etc est une suite. Soit Un-1 = 2, Un = 5. D’après notre définition de la suite Un+1 serait la concaténation de 2 et de 9, donc 2 9.

Le problème, c’est qu’en voulant appliquer encore une fois notre définition pour « continuer d’avancer » dans notre suite, nous nous confrontons à un problème. Le nouveau Un+1 va se retrouver après l’ancien Un+1 et non pas après le Un.

Choix d’étude des bases 2,3

Choix d’étude de la base 2 et 3 Exemples de suites en base 2 :  0000000000... 101110101111101010101111111110101010101010101010 etc 01110101111101010101111111110101010101010101010 etc 1110101111101010101111111110101010101010101010 etc

Exemples de suites en base 3 : 0000000000... 2222222222... 1011212121212... 011212121212... 1121212121212... 121212121212...

Approfondissement des bases 2,3

Approfondissement de la base 3 On prend la suite qui commence par 02 0211122212222212122222222212121212…. On pose A=12 et B=22,la suite devient: BBAABBBBAAAABBBBBBBBAAAAAAAA…. OU: B²A²B^4A^4B^8A^8B^16A^16….

Cas n fini: Sn=2+4+8+16+32+....+2^n (suite géométrique =(1+2+4+8+16+....+2^n ) - 1=(2^(n+1) - 1) - 1 Sn= 2^(n+1) - 2 est le nombre de A (et de B ). Nous pouvons aussi dire que ce résultat montre qu’à partir d’un certain rang, il y a trois fois plus de 2 que de 3.

Cas n infini : Nous l’exprimons donc ainsi : Sn=2+4+8+16+32+.....+2^n+.... est un nombre 2-adique Selon la Décomposition canonique de Hensel : 1+2+4+8+16+32+.....+2^n+...= -1, pour n supérieur ou égal à 0 En l'occurrence, n supérieur ou égal à 1, Sn=2+4+8+16+32+.....+2^n+.... = -2

Approfondissement de la base 2 : Nous avons décidé de prendre la suite commençant par 01: Les opérations possibles sont : 1²+1²=0 0²+1²=1²+0²=1 (0 est l'élément neutre) Pour étudier la base 2, nous avons décidé de considérer uniquement des unités des résultats nous décidons d’écrire la suite de cette façon : 01101010101010... On pose A=0 et B=1 et la suite devient: BABABABABABA…. .

Cas n fini : Sn=1+1+1+1+1+1+.....+1 (n fois) = n Cas n infini : Sn=1+1+1+1+1+1+.....+1… On a trouvé que "somme de 1 quand n allant de 1 à l'infini" est inférieure à -2 #

Conclusion