Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés en classes’ Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique Normes et distances

Addition

Multiplication par un scalaire

Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)

Multiplication AB (1 ligne de A x 1 colonne de B)

Transposition (ligne colonne)

Matrices élémentaires Matrice Identité Matrice diagonale Matrices carrées Matrice scalaire Matrice triangulaire Matrice symétrique

Propriétés des matrices carrées Déterminant Matrice adjointe Matrice inverse

Déterminant : notation A chaque matrice carrée d’ordre n, on peut associer un scalaire, le déterminant de A Déterminant d’ordre n

Déterminant d’ordre 2 : calcul _

Exemple

Matrice adjointe ou co-matrice Matrice carrée d’ordre n : Co-matrice : Où Dij est le déterminant d’ordre n-1 extrait du déterminant de A en enlevant la ième ligne et la jème colonne. Co-facteur de l’élément aij :

Méthode de calcul des déterminants d’ordre > 2 det (A) = la somme des produits obtenus en multipliant les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) par leurs co-facteurs respectifs.

Déterminant d’ordre > 2

Propriétés des déterminants Si A a une (ou plusieurs) ligne (ou colonne) de zeros : det(A) = 0 Si A est triangulaire : det (A) = produit des éléments diagonaux Si on échange 2 lignes (ou colonnes), alors le déterminant change de signe Si on multiplie une ligne (ou colonne) par un scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire Si un multiple d’une ligne (ou colonne) a été additionné à une autre ligne (colonne) alors le déterminant ne change pas

Matrice inverse Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul

Exemples

Lien entre les vecteurs et les matrices Les coordonnées d’un vecteur dans une base forment une matrice colonne

3. Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires MathSV chapitres 2 et 3bis

Un éleveur de bovins dispose en hiver de trois aliments (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun trois éléments nutritifs indispensables (A, B, C) selon le tableau suivant (unités arbitraires) :     Foin   Ensilé   Farine A 1 B C TD Problème 7 Chaque animal doit quotidiennement disposer de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C. Quelles sont les doses de foin (x), d'ensilé (y) et de farine (z) que doit lui fournir l'éleveur ?

Définitions: A est la matrice d’une application linéaire f B et X sont les matrices des coordonnées des vecteurs Notation :

On peut définir un système linéaire avec une matrice On peut définir un système linéaire avec une application linéaire

Une application linéaire Une application d’une espace vectoriel, E, dans un autre, F (si E et F sont de la forme IRn c’est une fonction) est linéaire : L’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images

Image et Noyau

INjectivité NON OUI Des éléments distincts ont des images distinctes

SURjectivité NON OUI Tout vecteur de F possède au moins un antécedent dans E

BIjectivité Injective et surjective : Tout élément de F a un antécédent unique, tout élément de E à une image unique.

Définitions Isomorphisme: A. L. bijective Endomorphisme : A.L. de E dans E Automorphisme : endomorphisme bijectif

Lien entre les applications linéaires, les bases et les matrices Quand les 2 espaces vectoriels associés à une application linéaire sont munis d’une base : On peut écrire la matrice d’une application linéaire relativement à ces bases

Exemple Quelle est la matrice associée à cette application linéaire relativement aux bases canoniques ? Quelle est l’image du vecteur (1,-1,1) ?

Pour la première séance de TT QCM 1 et 3 Exercices 1.6, 1.7, 1.10 et 3.1 Et aussi QCM 2 et 3bis On a couvert les chapitres 1, 2 3 et 3bis.