Journées MOMAS Lyon 4 et 5 septembre 2008 Roland Masson IFP Simulation des écoulements polyphasiques compositionnels en milieux poreux dans l'industrie pétrolière Journées MOMAS Lyon 4 et 5 septembre 2008 Roland Masson IFP Écrire ici dans le masque le nom de votre Direction – Écrire ici dans le masque le titre de la présentation – Date de la présentation

Plan Applications Ecoulements compositionnels Discrétisation Simulation de bassin, de réservoir et du stockage géologique du CO2 Ecoulements compositionnels Équilibre thermodynamique Formulations Modèle Black Oil Discrétisation Résolution des systèmes non linéaires Changements de phase Solveurs linéaires Variables primaires et secondaires Préconditionneur Exemples

Applications Simulation de bassin Simulation de réservoir Simulation du stockage géologique du C02

Simulation de bassin Géologie quantitative: simuler l'histoire géologique du bassin pour prédire son état actuel Simulation de bassin : fluides (eau, huile, gaz) Objectifs Exploration: prédire l'emplacement des réservoirs, la qualité et la quantité d'HC Forage: prédire les surpressions Sédimentation Craquage – expulsion - migration Piégeage des HC dans les réservoirs Enfouissement - compaction – élévation de température

Simulation de réservoir Objectifs Assimilation des données dynamiques de production Prédiction de la production Optimisation des procédés d'exploitation Emplacement des puits Injection d'eau, de C02, ... Procédés thermiques, chimiques, ... Méthodologie Simuler les écoulements triphasiques (eau-huile-gaz) compositionnels Couplages avec les puits et le réseau de surface Réservoir

Simulation du stockage géologique du CO2 Objectifs Optimisation de l'injection du CO2 Prédiction et réduction des risques de fuite du CO2 Méthodologie Simuler les écoulements compositionnels Intéractions eau - roche Fuites: puits, failles, couvertures Stockage du CO2 dans les aquifères salins Production d'huile par injection de CO2

Ecoulements en milieux poreux Milieu poreux multiéchelle, hétérogène Couches, failles, fractures, chenaux Description géostatistique Construction du modèle: exemple de workflow en réservoir structural model reservoir mesh reservoir model structural modelization geological model stratigraphic and geostatistical modelization Upscaling Sismic and well data

Ecoulements en milieux poreux Modèle dynamique: multi-physique et non linéarités Gamme de modèles Du monophasique au triphasique compositionnel thermique en simple et double milieu Lois de fermetures complexes Equations d'état Equilibres thermodynamique et géochimique Lois hydrodynamiques: Kr, Pc, Hystérésis Nombreux couplages Thermique Réservoir – Voisinage puits - puits – réseau de surface Cinétique (intéraction eau-roche, craquage, combustion) Géomecanique

Formulation des modèles compositionnels Equilibre thermodynamique Formulation en pression, compositions des phases et saturations Modèle Black Oil Formulations en compositions totales Formulations découplées

Modèles compositionnels Description plus ou moins fine des fluides en composants selon les objectifs de la simulation H2O, composants HC, C02, N2, H2S, sels Équations d'état (Cubique Peng Robinson pour les phases huile et gaz) et lois de mélanges Lumping Enveloppe de phase en diphasique huile-gaz Gaz à condensat P (Pc,Tc) Gaz sec ou humide Huile sous saturée V L L+V Huile saturée T

Équilibre thermodynamique: notations Composants i=1,...N (H2O, composants HC, C02, N2, H2S, ...) Phases:  = eau, huile, gaz fractions molaires totales des composants fractions molaires des phases fractions molaires des composants pour les phases présentes

Équations d'état Équilibre thermodynamique (exemple diphasique huile gaz) Exemple: Peng Robinson pour les phases huile et gaz Lois de mélange: Équations d'état  Équilibre thermodynamique (diphasique huile gaz):

Flash thermodynamique à P,T, Zi fixés Trouver tels que = ensemble des phases présentes flash étendu (Michelsen 86) calculs de stabilité (Michelsen)

Flash thermodynamique à V,T,n=(ni)i=1, Flash thermodynamique à V,T,n=(ni)i=1,...,N fixés (réservoir 0D isotherme) On rajoute l'équation: En milieu poreux: nt est le nombre de moles par unité de volume Saturations: (conservation du volume)

Algorithme de résolution Exemple du cas diphasique: flash à Ki(P,T) Rachford Rice (52) avec flash étendu Méthode de substitution

Exemple d'équilibre huile gaz à 3 composants Nombre d'itérations de substitution en fonction de la composition Z (dans le diagramme ternaire)

Formulation en P,saturations, compositions des phases (Coats SPE 80, 89) Variables: Equations d'état: Lois hydrodynamiques: déterminé par flash étendu Formulation adaptée aux modèles Black Oil et aux schémas en temps fully implicite

Modèle Black Oil 3 phases: eau (w), huile (o), gaz (g) 3 composants: eau (w), léger (l), lourd (h) composant léger = gaz en surface composant lourd = huile en surface Dissolution du composant léger (l) dans l ’huile c composition de la phase huile en léger Equilibre diphasique (o)-(g) + (w) Huile (o) sous saturée + (w) + conditions limites: puits, aquifères, frontières imperméables

Formulation en P et moles des composants (Young and Stephenson SPE 83, Chien et al. SPE 85) Variables: Equations d'état: Lois hydrodynamiques: Flash: Adaptée aux schémas en temps implicite en pression et explicites en compositions, saturations (IMPES)

Formulation en P, Saturations et moles des composants Variables: Equations d'état: Lois hydrodynamiques: Flash: Adaptée aux schémas en temps implicites en pression et saturations et explicites en compositions (IMPSAT)

Formulations découplées Adapté aux cas immiscibles incompressibles N'assure pas la conservation des masses Nombreuses publications SPE dans les années 80 (ex Watts SPE 86) pas utilisé actuellement dans les simulateurs "généralistes" utilisé plus récemment pour adapter les discrétisations à chaque type d'équation (méthodes multi-échelles, streamlines)

Discrétisation Discrétisation volume fini Schémas en temps

Discrétisation: état de l'art dans l'industrie pétrolière Principales caractéristiques Hétérogénéités Prendre en compte une large gamme de physique Efficacité en temps calcul et robustesse Éviter les fortes réductions du pas de temps (drains, failles, petites mailles, fortes K, forts couplages) Discrétisation volume fini Couplage implicite de l'équilibre thermodynamique Discrétisation multi-point des flux diffusifs (–K grad P) Discrétisation à deux points des termes de transport avec décentrage selon les vitesses de chaque phase Intégration en temps de type Euler Implicite en pression Implicite ou explicite en saturations et/ou compositions

Volume Fini Discrétisation Loi de conservation discrète

Discrétisation des modèles compositionnels Conservation de la masse des composants Lois de fermeture

Quelques remarques sur le schéma en temps Marche en temps Contrôle de l'incrément des variables pression, saturations, compositions CFL approchée (cf Coats en Impes) Réduction du pas de temps en cas de non convergence du Newton (5 à 10 itérations max) Réduction du pas de temps à l'ouvertures et fermetures des puits Initialisation de la composition des phases absentes Schéma IMPSAT Termes de diffusion dispersion

Systèmes non linéaires compositionnels Algorithme de Newton Le système d'équations et de variables est mis à jour en fonction des changements de phase en cours d'itérations de Newton Newton avec pas 1 ou avec troncature Inexact Newton (Eclipse) Lois de fermetures Équilibre imposé ou non à chaque itération de Newton Conservations du volume ou des masses imposées à chaque itération de Newton (Coats 89)

Systèmes non linéaires en compositionnel Gestion de l'apparition et de la disparition des phases Disparition de phase Signe négatif des saturations dans les mailles où toutes les phases sont présentes Flash étendu sinon Apparition de phase Flash étendu

Systèmes non linéaires en compositionnel Voisinage du point critique: tendre vers des Kr en croix et des Pc nulles Kr(S,σ),Pc(S,σ) Petites saturations: changement de variables (S,C)  (S,S*C)

Critères d'arrêt du Newton En simulation de réservoir Global: masses globales relatives Local: norme relative des résidus Flash: au voisinage du point critique, on reste en monophasique au delà d'un nombre maximal d'itérations En simulation de bassin Critère local uniquement

Système linéaire Système linéaire Élimination des lois de fermeture YK variables primaires ZK variables secondaires Élimination des variables explicites *=n inversible

Système linéaire: choix des variables primaires en fonction des phases présentes Cas de l'équilibre diphasique (o)-(g) et eau immiscible Constituant eau (e) + N constituants hydrocarbures i=1,...,N dans les phases gaz et huile Phases huile et gaz présentes P, Sw, Sg, Y3, ...,YN Phase huile absente et phase gaz présente P, Sw, Y2, ..., YN Phase gaz absente et phase huile présente P, Sw, X2, ..., XN Phases huile et gaz absentes P, n1, ..., nN

Système linéaire Système couplant des inconnues de nature elliptique et hyperbolique Système de grande taille De 3 à 10 inconnues par maille Maillages non structuré de grande taille Système non symétrique Termes de couplages des inconnues Lois de fermetures non linéaires en pression Système mal conditionné Inconnue elliptique (pression p), hétérogénéités, taille du maillage Autres couplages Puits, failles conductrices, compaction

Méthode Combinative-AMG Motivation = exploiter les préconditionneurs existants efficaces pour chaque bloc du système pris séparément Bloc elliptique en pression: Algebraic MultiGrid (AMG) Bloc saturations/compositions: préconditionneurs plus locaux de type ILU Difficultés Couplage des inconnues Définition d'un bloc pression adapté au préconditionneur AMG

Preconditionnement Combinative-AMG du système Préconditionnement ILU0 du système Résidu de l'équation de pression AMG Vcycle(s) (typiquement 1 Vcycle) Correction de la pression

Exemples Black Oil synthétique: cas Coning 2D stratifié CO2 – eau: injection de CO2 dans l'aquifère de l'Utsira Cas Black oil parallèles Cas compositionnel d'injection de gaz miscible

Exemple de simulation Black Oil Cas test Coning 2D Puits producteur vertical 50 m 100 m Milieu homogène K = 10 mD (1 mDarcy = 10-15 m2) Porosité = 0.2 Etat initial du réservoir Pression initiale hydrostatique Réservoir plein d'huile sous saturée (pb à 190 bars) Aquifère à z=0 Pression = 200 bars, eau entrante Production sur 30 ans Pression de fond de puits à z = 50 m: fixe à 150 bars Paramètres numériques Maillage cartésien: 100x100 Pas de temps initial: 1 jour Pas de temps final: 1 an Critère d'arrêt Newton: 10-5 relatif Critère d'arrêt GMRES: 10-5 relatif

Thermodynamique Black Oil Densités des phases (huile saturée) Concentration en léger de l'huile saturée Viscosités des phases (huile saturée)

perméabilité K Réservoir stratifié Saturation d'eau

Réservoir stratifié (suite) Pression Saturation de gaz

Convergence du Newton

Pas de temps

Convergence du GMRES

Sleipner CO2 geological storage

Sleipner CO2 geological storage

20 years 1000 years Injection Storage

75 years

475 years

975 years

W-CO2 End of injection pH End of storage

Mineral fraction changes End of injection Calcite Kaolinite End of storage

Feldspar End of injection Illite End of storage Mineral fraction changes End of injection Feldspar Illite End of storage

Dolomite End of injection Anorthite End of storage Mineral fraction changes Dolomite End of injection Anorthite End of storage

Cas CO2 Utsira: performances sur maillages 13x13x10, 23x23x10 et 45x45x10 (Anthony Michel)

Performances (Anthony Michel) Test Case 13x13x10 23x23x10 45x45x10 Number Of Cells 1,690 5,290 20,250 Number of Time Steps 446 501 771 Number of Newton steps/time step 4,3 5,2 6,6 CPU TIME(s) 745.37 2654.92 14215.18 Écoulement 13% 20% 45% Transport réactif 87% 80% 55% TIME/STEP 1.52 4.86 17.19 TIME/NBM*1000 400.31 460.13 654.38 TIME/NBSTEP/NBM*1000 0.90 0.92 0.85

Black Oil Reservoir simulation test case Black Oil model (3 unknowns per cell) Heterogeneous media (log normal K) Vertical wells: 5x5 producers, 6x6 injector 30 years production Cartesian mesh 15x15x8, 30x30x16, 60x60x32 Comb pente 1,45 CPU et #it per Newton step for different variances of the log normal permeability field pente 1,2 CPU per Newton step  Comb ILU0 4 6,8 it. / 1.25 s 72 it. / 3.0 s 8 7,8 it. / 1.27 s 128 it. / 5.3 s 12 9,0 it. / 1.44 s 235 it. / 9.9 s Number of unknowns (log)

SPE10 Benchmark « SPE10 comparative solution project » http://www.spe.org/csp/datasets/set02.htm Highly heterogeneous Petrophysical data Immiscible Two phase flow (w+o) Five spot: 1 injector and 4 producers 1.000.000 cells, simulation over 2000 days

PAB test case Synthetic test case based on the PAB reservoir in Pakistan Black Oil Model 20 water injectors, 30 producers in « five spots pattern » 4.223.000 cells

Cas test Black Oil hétérogène Black oil (3 inconnues couplées par maille) Maillage CPG avec plusieurs millions de mailles 600 000 cellules actives Préconditionneur combinatif Nb Procs Simulation time CPU(s) Speed up 1 5 261 2 2 812 1,87 4 1 791 2,93 8 1 028 5,1 16 609 8,6 32 463 11,4 64 450 11,7

Cas tests de miscibilité dynamique: exemple du champ Safah, Oman SPE 29115 Huile réservoir "Safah" sous saturée à 214 bars, 100 degrés Celcius EOS à 15 ou 8 constituants Injection d'un gaz sec dans une huile légère à haute pression (311 bars)

Ternary diagram : for given T, P Equilibre Huile Gaz Ternary diagram C1 (T, P) Gas Dew point + X C Bubble point Oil C5+ Cm Ternary diagram : for given T, P For given conditions (T, P), this compositional diagram indicates the nature of a composition limited to 3 components or pseudo components. Inside the zone delimited by the dew point curve and the bubble point curve, a given global composition is diphasic ; the composition of the liquid and vapor in equilibrium corresponds to the coordinates of the interception of the tie-line and the saturation curves. The limitation to 3 pseudo components is the weak point of this kind of diagram.

Multiple Contact Miscibility Multi-contact miscibility 1 L i (T, P) Critical Zone Gas TWO-PHASE ZONE Oil “Front” miscibility (vaporising gas drive) Multi-contact miscibility “Front” miscibility (vaporising gas drive): after multiple contacts, the gas at the front becomes heavier and oil-miscible.

Multiple Contact Miscibility Multi-contact miscibility 1 L i (T, P) Critical Zone Gas Oil TWO-PHASE ZONE “Rear” miscibility (condensing gas drive) Multi-contact miscibility “Rear” miscibility (condensing gas drive): after multiple contacts in the injection well (behind the front), the oil becomes lighter and miscible with the injected gas.

Résultats Simulation 1D Performances sur une cross section 2D: 20x22 mailles Composants CPU (s) pas de temps itérations de Newton 15 2200 330 1240 8 450 300 700 2 30 280 620