Chapitre 4 Réduction des endomorphismes ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 4 Réduction des endomorphismes
Un peu de génétique… AA (pk) aa (rk) Aa (qk) 1/4 1/2 AA aa Aa Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Un gène bi-allélique Aa : Quelle est l’évolution de la structure génétique de cette population ? AA (pk) aa (rk) Aa (qk) 1/4 1/2 AA aa Aa Une plante est dite autogame quand son propre pollen féconde ses propres ovules. Se dit d’une cellule qui possède 2n chromosomes, c'est à dire que chaque type de chromosome est en 2 exemplaires (= chromosomes homologues). Les chromosomes homologues portent les mêmes gènes mais pas forcément les mêmes allèles.
Les équations
Objectif Trouver B’E telle que On dit alors que f est diagonalisable
Vecteurs et valeurs propres Théorème f est diagonalisable ssi il existe une base de E formée de vecteurs propres.
Recherche des valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :
Retour à l’exemple en génétique
Recherche des vecteurs propres V est la matrice des coordonnées du vecteur Théorème f est diagonalisable ssi pour chaque valeur propre li de multiplicité ai , on a dim El = ai .
Suite de l’exemple
La diagonalisation Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : L’ordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.
Fin de l’exemple
Chapitre 5 Produit scalaire et orthogonalité ALGEBRE LINEAIRE Chapitre 5 Produit scalaire et orthogonalité
Le produit scalaire canonique L’espace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :
Norme
Orthogonalité La base canonique de l’espace euclidien est une base orthonormale :
Projecteur orthogonal Le vecteur projeté de sur est le vecteur : est colinéaire à et lui est orthogonal.
Distance euclidienne
La semaine de la rentrée La semaine prochaine Vacances La semaine de la rentrée Rendre le DM (si ce n’est pas déjà fait) Rendre le compte rendu de TD