de la causalité Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille Marc Ouziaux

Programme de PT-PT* I.) ANALYSE ET CONCEPTION DES SYSTÈMES II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMES III.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES SYSTÈMES

II.) CONCEPTION ET COMPORTEMENT DES PARTIES MÉCANIQUES DES SYSTÈMES II.1.) Mécanique des chaînes de solides II.1.1.) Dynamique des solides à masse conservative II.1.1.a) Caractéristiques d'inertie des solides II.1.1.b) Cinétique II.1.1.c) Principe fondamental de la dynamique II.1.1.d)  Représentation causale II.1.2.) Analyse des mécanismes II.1.2.a) Définitions II.1.2.b) Étude des chaînes de solides indéformables II.1.2.c) Formules de mobilité   II.1.3.) Résistance des matériaux II.2.) Fonctions techniques II.3.) Définition des ensembles mécaniques II.4.) Approche Produit-Procédé-Matériau  

Points du programme abordés : II.1.1.d) Représentation causale • variable d’état associée à : - masse conservative, - une raideur, - un frottement visqueux ; • relation de transformation (équations différentielles) ; • représentations graphiques (graphe informationnel causal ou bond graph).    

1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal

1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 1) Notion réduite de causalité Un système asservi possède deux parties essentielles : une machine à commande numérique un four à traitement thermique - le processus que l'on commande :   tension déplacement débit de gaz température

1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal - le dispositif de commande. Il a pour objectif d’imposer le comportement du processus par inversion de causalité, quelle que soit la nature de ce dispositif.   Il est donc évident que le dispositif de commande ne peut être étudié sans avoir, au préalable, déterminé les caractéristiques du processus.

- Qu'est ce qu'un processus ? 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 2) Étude du processus - Qu'est ce qu'un processus ? C'est un assemblage d'objets fonctionnant selon la règle de causalité. - Règle de causalité Il existe des grandeurs influentes et d'autres influencées, reliées entre elles par des relations de transformation à l'intérieur d'un processeur. La sortie ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée. Ces relations sont explicitées par des équations différentielles linéaires ou non. Elles présentent naturellement un ordre de dérivation plus élevé sur les sorties que sur les entrées.

qui peut encore s'écrire : - On procède alors à la mise en équations. Étudions quelques exemples :    u = R.i relation rigide ou autoduale indifféremment u ou i en entrée, elle n'est pas causale qui peut encore s'écrire : Toute équation différentielle impose entrée et sortie. C'est une relation causale. Cm : entrée : sortie Cr : perturbation On ne peut pas indifféremment choisir l'entrée ou la sortie.

- - - On dit que la vitesse "intègre le couple" 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal - On dit que la vitesse "intègre le couple" - Si on a une équation différentielle avec des termes du même ordre dans les deux membres, on dit que la relation est semi-rigide.   Cr Cm  - + - La représentation faite est satisfaisante sur le plan mathématique. Elle aurait pu être mise sous une forme "plus mécanicienne" : f Cr Cm  - +

Les relations causales orientent le processus. entrée : u  sortie : i perturbation : e i u e + - Cr Cm  - + i u e + - k k Les relations causales orientent le processus.

Remarques : - Le processus décrit comporte une boucle mais n'est pas pour autant un système asservi, c'est seulement un système bouclé dû au principe des actions mutuelles, caractéristique de tous les systèmes mettant en jeu de l’énergie.   - Si on avait dû étudier une dynamo, on aurait eu la même équation différentielle, donc la même causalité. Il ne faut donc pas permuter trop rapidement entrée et sortie ! Ce sont les signes de certaines variables qui auraient été modifiés, selon la convention que l’on se donne au départ.

Si le système est trop compliqué, on procède par identification à une forme mathématique connue. ? S(p)

Conclusions : On peut toujours, par mise en équation ou par identification, associer une fonction de transfert au processus. On est conduit à imaginer que l’entrée et la sortie sont facilement identifiables.

On imagine d'inverser la causalité créée par le processus. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 3) Étude de la commande Le processus présente certaines caractéristiques ne respectant pas le cahier des charges (précision, stabilité, rapidité). On imagine d'inverser la causalité créée par le processus. Si la relation est rigide et biunivoque, aucun problème ! Si la relation est causale, il faut imaginer selon un concept d’actions mutuelles : U  Processus U  ? 

 Capteur V On compare V par rapport à une référence Vréf ou consigne. V Si l'on a l'information V = Vréf, c'est parfait, c'est ce qui est souhaité ! par contre si V  Vréf, il faut pouvoir : comparer  nécessité d'avoir un élément de type soustracteur... amplifier  nécessité de placer un élément donnant un gain important

Même fonction que le capteur Processus U  Cr + Vréf  - Ampli. Capteur V Même fonction que le capteur Processus Ampli. Capteur : K(p) Vréf  U V  + - Cr réf K(p) Réelle ou fictive Pratiquement impossible de réaliser cette condition, on essaie de réaliser au moins l’égalité des gains statiques

On serait tenté de simplifier, car Processus Ampli. Capteur : K(p) Vréf  U V  + - Cr réf K(p) réf K(p).Ampli.processus  V  + - Cr est équivalent à : mais tout sens physique à disparu !

Écart "vrai" ou écart sur la sortie réf K(p) Processus Ampli. Capteur : K(p) Vréf  U V  + - Cr Le système possédant deux entrées, on peut en profiter pour repréciser les deux fonctions de transfert en poursuite et en régulation ainsi que la notion d’écart sur la sortie. - + Écart  "vrai"  ou écart sur la sortie

4) Conception du correcteur 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 4) Conception du correcteur Processus U  Cr  Correcteur Ampli. peu précis peu stable lent pas causal ! avec  très petit donc des pôles p = très éloignés de l'axe des imaginaires et qui n'influeront donc pas sur le système.   On gomme les imperfections du processus

exemple réf Correcteur.processus  V  + - Cr Correcteur PID

Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal Conclusions : Mais il ne faut pas croire que le correcteur peut tout corriger. Meilleure est la conception du processus, moins de corrections, il doit y avoir, donc mieux c’est ! Il reste donc à nos étudiants à toujours maîtriser les notions de mécanique. Il est donc important de distinguer entrée et sortie car pour concevoir un système asservi, la commande aura pour règle de création de vouloir inverser la causalité du processus.

Mais que choisir comme variable d'entrée ? 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 5) application f k x(t)/équilibre m xe (t)/équilibre A priori évident :   mx"=-k.(x-xe)-f.(x'-x'e) La sortie se retrouve sur la variable ayant l'ordre de dérivation le plus élevé, soit x(t). Mais que choisir comme variable d'entrée  ? Xe(p) X(p)

k f.p + - Xe(p) X(p) Remarque 1 : La représentation est correcte sur le plan mathématique mais incorrecte sur le plan physique. En effet un problème de causalité se pose sur le schéma-bloc associé à l'amortisseur Remarque 2 : Si nous avions choisi comme variables d'entrée et de sortie x'e(t) et x'(t) (avec conditions initiales nulles), nous aurions eu la même fonction de transfert globale : L[x’e(t)]=pXe(p) L[x’(t)]=pX(p)

mais une représentation détaillée conduit à : 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal mais une représentation détaillée conduit à : f + - L[x'e(t)] L[x'(t)] pour laquelle tous les schémas blocs respectent la règle de causalité.

Ces variables sont appelées variables d'état. 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal Conclusions : Si la conception du système asservi semble logique, on se rend compte que le choix de la variable d'entrée n'est pas si évident que cela. L'état du système doit être caractérisé par le choix réalisé à travers les variables retenues pour réaliser son étude. Ces variables sont appelées variables d'état.

État énergétique du système 1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal 6) État d’un système Variable d’état Énergie potentielle État énergétique du système Énergie cinétique caractérisé par un ensemble de variables constituant un résumé du passé suffisant pour prédire l'évolution future. Le modèle d'un processus se représente à partir de variables d’état qui correspondent aux énergies accumulées à un instant donné. Ce sont donc des variables douées de mémoire : vitesse, effort....  

Toute variable d'état est une grandeur continue au sens mathématique du terme (système linéaire continu et invariant). L'étude dynamique donne un éclairage sur : • divers états d'un système et les changements d’états appelés transitions, • événements et conditions qui influencent le comportement du système, • évolution du système en fonction du temps.

1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal Conclusion : Le choix d'un ensemble de variables d'état est la première étape de modélisation d'un système.

7) Approche par le graphe informationnel causal Solide S ayant un mouvement de translation rectiligne suivant l’axe c’est une force qui crée l’accélération d’une masse.   La grandeur d’entrée, influente, est donc potentielle : la force; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est cinétique : la vitesse.

1) Notion réduite de causalité 2) Étude du processus 3) Étude de la commande 4) Conception du correcteur 5) Application 6) État d’un système Variable d’état 7) Approche par le graphe Informationnel causal La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la vitesse, est fonction de la grandeur d’entrée : la force, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.   Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie cinétique avec une relation causale (unilatérale ou orientée).

Rc v(t) f(t) Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associée Relation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « potentielle » Grandeur de sortie : « cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T m v(t) f(t) f(t) v(t) Rc V(s) F(s) v(t) f(t)

Et pour un volant d’inertie J en rotation autour d’un axe fixe ?

Rc (t) c(t) Élément Mécanique processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associée Relation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « potentielle » Grandeur de sortie : « cinétique » Énergie Cinétique accumulée de 0 à T J (t) C(t) c(t) (t) Rc (s) C(s) (t) c(t)

Étudions les composants « classiques » : ressorts et amortisseurs k v1(t) f(t) v2(t) ressort Ressort isolé d’où : C’est une variation de longueur qui crée une variation d’effort.  La grandeur d’entrée, influente, est donc cinétique : la vitesse; elle CAUSE une variation de la grandeur de sortie, influée, qui est potentielle : la force.

La relation causale met donc en évidence que la dérivée de la grandeur de sortie : la force, est fonction de la grandeur d’entrée : la vitesse, ou encore que la grandeur de sortie est une fonction intégrale de la grandeur d’entrée.   Le processeur associé est donc un accumulateur d’énergie potentielle avec une relation causale (unilatérale ou orientée). D’ou problème lors de son inversion !

Rc f(t) v1(t)-v2(t) Élément Mécanique v2(t) k v1(t) v2(t) V1(s) V2(s) processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associée Relation causale temporelle : Rc Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur d’entrée : « cinétique » Grandeur de sortie : « potentielle » Énergie potentielle accumulée de 0 à T v2(t) v1(t) f(t) Rc f(t) k v1(t) v2(t) V1(s) V2(s) F(s) k s f(t) v1(t)-v2(t)

amortisseur Les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent être inversées, il n’y a pas de causalité.   Le processeur associé est donc un dissipateur d’énergie avec une relation rigide (bilatérale ou non orientée). v1(t) f(t) v2(t) f Amortisseur isolé :

R f(t) Élément Mécanique v1(t) f(t) v2(t) f v2(t) V1(s) V2(s) F(s) f processeur (GIC) Schéma Bloc causal (C.I. nulles) Loi mécanique associée Relation rigide : R Relation causale complexe (C.I. nulles) Grandeur « potentielle » Grandeur « cinétique » Énergie dissipée de 0 à T v1(t) f(t) v2(t) f v2(t) v1(t) f(t) R V1(s) V2(s) F(s) f f(t)

Modulateurs Un modulateur est constitué de deux processeurs dipôles duaux dont les entrées et les sorties sont de même nature énergétique. On trouvera donc comme modulateur parmi les éléments mécaniques : ·         Les leviers ·         Les systèmes poulie(s) / courroie ·         Les engrenages ·         Les systèmes pignon / crémaillère ·         Les systèmes roue vis, vis écrou… s1(t) R e1(t) e2(t) s2(t) m

Relations causales temporelles : Rc Exemples de modulateurs Modulateur en translation : levier Élément Mécanique processeur (GIC) Relations causales temporelles : Rc d2 d1 f1(t) f2(t) v2(t) v1(t) f2(t) R f1(t) v2(t) v1(t) m

Relations causales temporelles : Rc Modulateur en translation : engrenage, poulies et courroie Exemples de modulateurs Élément Mécanique processeur (GIC) Relations causales temporelles : Rc d2 d1 C1(t) C2(t) ω2(t) ω1(t) c2(t) R c1(t) 2(t) 1(t) m

Relations causales temporelles : Rc Modulateur en translation/rotation : pignon/crémaillère, roue/vis Exemples de modulateurs Élément Mécanique processeur (GIC) Relations causales temporelles : Rc c2(t) R f1(t) 2(t) v1(t) r f1(t) C2(t) ω2(t) v1(t) m

Exemple traité k f m ve(t) vs(t)

Rc1 Rc2 R f(t) f1(t) f(t) f(t) f1(t) f1(t) vs(t) ve(t) vs(t) vs(t)

Bonjour GIC R ve(t) Rc1 Rc2 vs(t)

f Ve(s) Vs(s) F(s) F1(s) k s

Rc1 R Rc2 Vs(s) Ve(s) F(s) f k s F1(s) Même sur un exemple aussi simple, bien que les démarches soient proches, les représentations obtenues diffèrent fortement. Difficile de passer de l’une à l’autre directement ! R ve(t) Rc2 Rc1

Les paramètres sont définis à partir des positions d’équilibre Exercice à préparer Les paramètres sont définis à partir des positions d’équilibre k3 f3 k2 k1 f2 f1 m2 m1 X2(t) X1(t) F2(t) F1(t) 1) Déterminer les variables d’état 2) Établir la représentation sous forme de blocs fonctionnels 3) Écrire le processeur (G.I.C) des composants créant le couplage entre les deux masses. 4) Compléter le G.I.C fourni

Rf1 Rk1 Rm1 Rf2 F1 Rf3 Rk3 Rm2 F2 Rk2

Éléments de réponse F1 F2 f1 k1 s f2 f3 k3 k2

Rk2 Rf2 k3 f3 k2 k1 f2 f1 F2(t) F1(t) v2 v1 Fk2 v1 Ff2 v2 m2 m1 X2(t) X1(t) F2(t) F1(t) v2 v1 Fk2 Rk2 Relation causale v1 Ff2 v2 Rf2 Relation rigide

x’2 Rf2 F1 F2 Rf1 Rk1 Rm1 Rk2 Rf3 Rk3 Rm2 x’1

C’était de la causalité Sortie les 11-12 mai 2004 au cours du séminaire PT à l’Ensam de Lille Marc Ouziaux