SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE 1/13 SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE ETUDE TEMPORELLE

1) Equation différentielle 2/13 1) Equation différentielle 2) Fonction de transfert 3) Exemple En partie 4) Réponse à un échelon 5) Identification d’un deuxième Cours d’après ordre oscillant 6) Rapidité

Facteur d’amortissement Pulsation propre du système non amorti 3/13 1) Equation différentielle Un système est dit du deuxième ordre quand il est régi par l’équation différentielle suivante : Equation différentielle du deuxième degré. Consigne d’entrée Variable de sortie e(t) s (t) Facteur d’amortissement Gain statique Pulsation propre du système non amorti Pulsation à laquelle oscillerait le système si z était nul (par exemple pas de frottement sur un système mécanique). Ce qui amortit le système (par exemple les frottements sur un système mécanique). Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Facteur d’amortissement Pulsation propre du système non amorti 4/13 2) Fonction de transfert Passons dans le domaine de Laplace en utilisant le théorème de la dérivation : Nota : la fonction de transfert traduit l’évolution du système depuis une position d’équilibre donc les conditions initiales sont nulles. Gain statique La FT est écrite sous forme canonique. Facteur d’amortissement Pulsation propre du système non amorti Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle ue(t) us(t) uR(t) R C L uL(t) 3) Exemple 5/13 Circuit RLC R : résistance électrique (en Ohm) L : inductance de la bobine (en Henry) C : capacité du condensateur (en Farad) Intensité q : charge du condensateur (en Coulomb) Tension Condensateur Bobine Loi des mailles Résistance avec Lois électriques qui seront vues en physique. Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 6/13 avec De la forme : Equation différentielle du deuxième degré. avec Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 7/13 4) Réponse à un échelon Prenons un échelon d’amplitude A Fonction d’Heaviside Valant 0 pour t<0 et valant 1 pour t>0. Utilisons le théorème de dérivation pour passer dans le domaine de Laplace. On cherche l’évolution d’un système depuis une position d’équilibre les conditions initiales sont nulles. E(p) On a donc : Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 8/13 De la forme : Essayons de factoriser le dénominateur calculons le discriminant. Nous avons donc trois cas d’étude : Le système sera dit « amorti » ou « non oscillant » ou « apériodique » Le système sera dit « apériodique critique » ou « critique » Le système sera dit « oscillant » ou « sous amorti » ou « pseudopériodique » Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 4-1) Premier cas : 9/13 z > 1 On a deux pôles réels : p1 est l’une des deux solutions résolvant l’équation du second degré. p2 est l’autre solution résolvant l’équation du second degré. Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 4-1) Premier cas : 10/13 z > 1 D’où la factorisation suivante : se factorise sous la forme Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 11/13 Mettons p1 et p2 en facteur : Pour mettre le résultat sous une forme plus « simple » (si, si…). 1 = Bon, c’est quand même plus simple. M’enfin !... Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Equation différentielle 12/13 Changement de variable permettant une écriture encore plus « simple ». Posons : et Faisons une décomposition en éléments simples. Car sous la forme du produit de 3 fonctions (alors qu’il faudrait une somme) Simple réel Cette décomposition sera vue en cours. Equation différentielle Fonction de transfert Réponse à un échelon Exemple Identification Rapidité

Ce qu’il faut avoir retenu 13/13 Ce qu’il faut avoir retenu (minimum « vital »…) La forme canonique de la fonction de transfert d’un deuxième ordre (à savoir par cœur). Ce que sont gain statique K, facteur d’amortissement z et pulsation propre w0. Savoir que la réponse temporelle d’un deuxième ordre à un échelon dépend de la valeur du facteur d’amortissement z (par rapport à 1) : - pas d’oscillations si z > 1 - présence d’oscillations si z < 1 La suite sera vue en cours.