Examen partiel #3 Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20 Salle 1112 du pavillon Pouliot. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4. - Notes de cours (guide d'études): sections 11 à 14. - Devoirs: 9 à 12.

Rappel... Orthogonalité. Produit scalaire, module; Ensembles orthogonaux.

Aujourd’hui Projections orthogonales. Procédure de Gram-Schmidt

14. Projections orthogonales Dans la section précédente, nous avons étudié la projection d’un vecteur y sur un espace à une dimension. Nous allons maintenant étendre ce concept à des sous-espaces de Rn.

Décomposition d’un vecteur On peut toujours décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs en utilisant les bases de l’espace vectoriel. y = z1 + z2 z1  Span{u1,…, ul} z2  Span{ul+1,…, un}

Décomposition d’un vecteur (suite) En particulier, si {u1,…, un} est une base orthogonale, on aura z1  z2. W = Span{u1,…, ul} W = Span{ul+1,…, un}

Théorème de la décomposition orthogonale Soit W un sous-espace de Rn ayant une base orthogonale. Alors chaque vecteur y dans Rn peut être écrit de façon unique selon

Théorème de la décomposition orthogonale (suite) En fait, si {u1, u2,..., up} est une base orthogonale quelconque de W, alors Le vecteur est appelé projection orthogonale de y sur W et est dénoté par projWy.

Décomposition orthogonale y W

Interprétation géométrique y u2 u1

Propriétés des projections orthogonales Si y  W = Span{u1,,..., up}, alors projWy = y, où {u1,..., up} est une base orthogonale de W.

Théorème de la meilleure approximation Soit W un sous-espace de Rn, y un vecteur quelconque dans Rn, et la projection orthogonale de y sur W déterminée par une base orthogonale de W. Alors est le point le plus proche de y dans W, au sens où pour tout vecteur v dans W distinct de .

Projection orthogonale de y sur W v W

Théorème de la projection orthogonale Si {u1, u2,..., up} est une base orthonormale d’un sous-espace W de Rn, alors Si U = [u1 u2 ... up], alors

Procédure de Gram-Schmidt La procédure de Gram-Schmidt est un algorithme simple pour produire une base orthogonale ou orthonormale pout tout sous-espace de Rn.

La méthode de Gram-Schmidt Soit une base {x1,..., xp} pour un sous- espace W de Rn. On définit

La méthode de Gram-Schmidt (suite) Soit une base {x1,..., xp} pour un sous- espace W de Rn. On définit

La méthode de Gram-Schmidt (suite et fin) {v1,..., vp} est alors une base orthogonale pour W. De plus Span{v1,..., vk} = Span {x1,..., xk} pour 1  k  p

La décomposition QR Utilisé dans plusieurs algorithmes numériques: calcul des valeurs propres; solutions d’équations matricielles.

Théorème: décomposition QR Si une matrice A m  n possède des colonnes linéairement indépendantes, alors A peut être décomposée selon A = QR, où Q est une matrice m  n dont les colonnes forment une base orthonormale de Col A et R est une matrice n  n, triangulaire supérieure et réversible, avec tous les éléments de sa diagonale > 0.

Méthode pour la décomposition QR Q: on utilise Gram-Schmidt. R: on utilise le fait que Q est une matrice orthogonale. QTA = QT (QR) = IR = R

Devoir 12 (Ne pas remettre) 1) 6.3.12 2) 6.3.16 3) 6.3.18 4) [M] 6.3.25 5) 6.4.10 6) Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.10. 7) [M] Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.12.

Bonne chance à l’examen!