Rappel... Caractérisation des matrices inversibles: Matrices bloc. - propriétés des matrices inversibles - transformations linéaires Matrices bloc.

Aujourd’hui Décomposition des matrices: décomposition LU application: réseau de résistances Solution itérative de systèmes linéaires. Méthode de Jacoby

5. Décomposition des matrices Décomposition LU Il est parfois utile de pouvoir séparer une matrice en un produit de matrices. Une des décompositions les plus utilisées est la décomposition LU, ou triangularisation. Il y en a d’autres; nous les verrons plus tard.

Décomposition LU LU: « lower-upper ». Une matrice admet une décomposition LU si: A = LU où

Pourquoi LU? Ax = b Facile à résoudre si on connaît L et U. LUx = b En posant Ux = y on obtient 2 systèmes simples car ils sont triangulaires.

Ux = y et Ly = b A x b U L y

Comment faire cette triangularisation? Réduction de A sous forme échelon par des manipulations sur les lignes. Mettre A sous forme échelon U par des opérations de remplacement de lignes (pas d’échange de ligne, sinon « LU permuté »). Choisir L tel que la même séquence d’opérations va produire I.

Application: circuits résistifs en cascade Quadripôles résistifs. Matrice de transfert. Lois d’Ohm et de Kirchhoff.

Synthèse de circuits La matrice de transfert décrit les propriétés d’entrée-sortie du circuit (réseau). Un ingénieur doit d’abord déterminer si un tel circuit est réalisable. Ensuite, il pourra décomposer la matrice, si possible en des composants déjà disponibles.

Applet Java http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/resistance/

6. Solution itérative de systèmes linéaires Solutions d’un système linéaire méthodes directes (triangularisation,…) méthodes itératives (approchent numériquement la solution)

Pourquoi les méthodes itératives? Si la matrice est grande et avec beaucoup d’entrées nulles (« sparse »), le calcul itératif peut s’avérer beaucoup plus efficace.

Problème à résoudre On veut résoudre: Ax = b On pose: A = M - N On a alors: (M - N)x = b Mx - Nx = b Mx = Nx + b

Récurrence De façon générale, on cherche à calculer: Mx(k+1) = Nx(k) + b, k = 0, 1, 2,… avec A = M - N

x(k+1) ® x* (la solution) Récurrence (suite) On veut avoir: x(k+1) ® x* (la solution) Il faut choisir M afin que x(k+1) soit facile à calculer.

Méthode de Jacoby On suppose que la diagonale de A n’a pas d’éléments nuls. Soit D la matrice diagonale formée à partir de la diagonale de A. M = D, N = D - A

Méthode de Jacoby (suite) Dx(k+1) = (D - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,… On pose x(0) = 0. En pratique, on peut utiliser autre chose selon les informations disponibles.

Méthode de Gauss-Seidel On pose M = partie triangulaire inférieure de A. Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

Jacoby c. Gauss-Seidel Jacoby est quelques fois plus rapide que Gauss-Seidel, mais en général, c’est le contraire. Traitement parallèle: Jacoby est plus rapide.

Convergence Parfois, l’une ou les deux méthodes ne convergent pas. Une condition permet de garantir la convergence: la valeur absolue d’un élément de la diagonale est plus grande que la somme des valeurs absolues des autres éléments de la ligne correspondante.

Calcul manuel Pour le calcul manuel, il est plus simple d’utiliser la récursion: x(k+1) = M-1Nx(k) + M-1b, k = 0, 1, 2,… On évite ainsi d’avoir à résoudre en système n ´ n à chaque itération.

Calcul manuel (suite) La façon la plus rapide de calculer M-1N et M-1b est de faire: [ M N b] ~ [I M-1 N M-1b]

Prochain cours... Solution itérative de systèmes linéaires. Application à l’infographie.