MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours ACT2025 - Cours 10

Rappel: Rente perpétuelle de début de période ACT2025 - Cours 10

Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements ACT2025 - Cours 10

Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements ACT2025 - Cours 10

Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé ACT2025 - Cours 10

Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé Dernier paiement réduit ACT2025 - Cours 10

Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période ACT2025 - Cours 10

Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période ACT2025 - Cours 10

Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période Nous avons aussi la formule ACT2025 - Cours 10

Rappel: est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de ACT2025 - Cours 10

Rappel: est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de ACT2025 - Cours 10

Rappel: L’équation dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Rappel: Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 10

Rappel: Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 10

Rappel: L’équation dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Rappel: Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 10

Rappel: Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 10

la méthode de Newton-Raphson. Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée. Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer la méthode de Newton-Raphson. ACT2025 - Cours 10

Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue, c’est-à-dire les x tels que f(x) = 0. ACT2025 - Cours 10

Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x0 et nous construisons récursivement une suite: x1, x2, …, xs, … . Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f. ACT2025 - Cours 10

Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante: ACT2025 - Cours 10

La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante. Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons ACT2025 - Cours 10

Exemple 1 : Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. ACT2025 - Cours 10

Exemple 1 : Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. La dérivée de f(x) est ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x0 = 3, nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Exemple 1: (suite) s xs 3 1 2.296296296 2 2.036587402 2.000653358 4 2.000000213 5 2.000000000 ACT2025 - Cours 10

Remarque 1: La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x. ACT2025 - Cours 10

Remarque 1: (suite) La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x3 - 5x. La règle récursive est ACT2025 - Cours 10

Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x0 = 1, alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, … et ainsi de suite. ACT2025 - Cours 10

Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x0 = 1, alors nous obtenons x1 = -1, x2 = 1, x3 = -1, … et ainsi de suite. Cette suite ne converge pas! ACT2025 - Cours 10

Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection. ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : (suite) Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7 | | 4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000 ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000 (1 + i)9 + 5000(1 + i)7 | | 4000 (1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000 Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : (suite) La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x0 = 6%, alors nous obtenons le tableau ACT2025 - Cours 10

Exemple 2 : (suite) s xs 6% 1 5.232920189% 2 5.205343113% 3 6% 1 5.232920189% 2 5.205343113% 3 5.205308625% 4 5.205308647% 5 5.205308669% 6 5.205308587% ACT2025 - Cours 10

Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité. ACT2025 - Cours 10

Nous voulons résoudre l’équation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. ACT2025 - Cours 10

Nous voulons résoudre l’équation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation: ACT2025 - Cours 10

Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction ACT2025 - Cours 10

La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 10

Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt. ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i(4) de ce prêt. Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre. ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : (suite) La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : (suite) En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant. ACT2025 - Cours 10

Exemple 3 : (suite) s xs 4xs (Taux nominal) 1.6260163% 6.5040652% 1 1.6260163% 6.5040652% 1 1.481978318% 5.927913272% 2 1.484619406% 5.9338477624% 3 1.484620352% 5.93681408% 4 1.484620497% 5.938481988% 5 1.484620377% 5.938481508% 6 1.484620430% 5.93848172% 7 1.484620287% 5.938481148% ACT2025 - Cours 10

Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i0 . Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation. ACT2025 - Cours 10

Première hypothèse: Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée. ACT2025 - Cours 10

Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé. Deuxième hypothèse: Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé. ACT2025 - Cours 10

Justification heuristique de l’approximation: L’échéance moyenne approchée est car ACT2025 - Cours 10

Justification: (suite) Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2. ACT2025 - Cours 10

Justification: (suite) Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation: ACT2025 - Cours 10

Justification: (suite) Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i0 . ACT2025 - Cours 10

Justification: (suite) Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours. ACT2025 - Cours 10