Coloration gap sommet identifiante de graphes Mohammed Amin Tahraoui Eric Duchêne Hamamache Kheddouci Université de Lyon 1 12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille France.

Plan Coloration sommet identifiante Coloration Gap sommet-identifiante Coloration de graphe Coloration arêtes Étiquetage des sommets Coloration sommet identifiante Définition Variantes du problème Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation Résultats Perspectives

Colorations de graphe Coloration arêtes Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur. c :E {0,1,…,k-1} ’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour obtenir une coloration arête. Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1 1 2 (G) =3 3 3

Colorations de graphe Etiquetage des sommets Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing ) L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette. Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing ) L’étiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet-identifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings)

Coloration sommet-identifiante Définition propre impropre Coloration des arêtes qui permette de distinguer via une fonction de codage c Tous Les sommets Sommets adjacents Somme Union set Union multi-set 1 2 3 6 5 8 10 7 9 vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97) {1,2} {2,4} {1,4} {1,5} {1,2,3} {1,3} 1 2 4 3 5 {3,5} Irregular weighting (Chartrand et al ,86)

Coloration sommet-identifiante Variantes de problème Coloration arête Identifiante Fonction de codage Propre impropre Tous Les sommets Sommets adjacents Sum Set Multi-set Reference Irregular weighting x Chartrand et al ,86 vertex-colouring edge-weighting Karonski et al, 04 VD-coloring Burris & Schelp, 97 Adjacent strong edge coloring Zhang et al ,02 point distinguishing edge-coloring Harary & Pltholtan, 85 detectable coloring Chartrand et al ,06 vertex-colouring edge-partition Addario-Berry et al 04 General neighbour-distinguishing Ervin et al, 05

Coloration Gap sommet-identifiante Définition proper Non proper Coloration des arêtes qui permette de distinguer Tous Les sommets Sommets adjacents via une fonction de codage c. Somme Union set Union multi-set Gap

Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation Définition 1 Soit un graphe G=(V, E) Soit f : E → {1,……k} Pour chaque sommet v de G : Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1 c(v)= f(e) si d(v)=1 6 5 7 Min 6 4 1 10 2 3 2 1 10 2 9 9 7 2 Max Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une coloration Gap-sommet-identifiante

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Bornes inférieures Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K1 ou K2 gap(G) ≥ n si (i) δ(G) ≥ 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) ≥ n − 1 Sinon 2 4 1 3 4 1 2 3 5 2 3 4 1 5

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Bornes supérieures Conjecture: Pour tout graph connexe G d’ordre n>2 gap(G) ≤ n+1 Nous avons prouvé cette conjecture Larges ensembles de graphes de degré minimum δ (G) ≥ 2. Classes spéciales de graphes de degré minimum δ (G) =1: Chaines. Arbres ayant au moins deux feuilles à une distance égale à 2. Arbre binaire complet.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2 Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Cycle Théorème 3 : gap(Cn) = n, si n=0, 1(mod 4) (a) gap(Cn) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b)

Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4) Case (a).1 : n mod 4 =0 f(e1)=1 2 4 8 3 7 6 5 1 n/2 i mod 4=2 f(ei) = (i+1)/2 i impaire n i mod 4=0 c(vi) = n-(i+1)/2 i mod 4=1 (n-i)/2 i mod 4=2 (n –i-1)/2 i mod 4=3 n-(i/2) i mod 4=0

Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4) Case a.2 : n mod 4 =1 f(e1)=1 8 7 n-1 i mod 4=2 f(ei) = i i paire n i mod 4=0 9 8 2 5 7 3 c(vi) = n-1 i mod 4=2 n-i+1 i mod 4=0 n –i-1 i mod 4=3 n-i i mod 4=1 1 6 8 9 4 8 5 gap(Cn) =n 3

Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) ) Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) gap(Cn) > n ? ? ? Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents) Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) ) gap(Cn) > n

Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs. Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) gap(Cn) ≥ n+1 gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ? Case (b).1 : n mod 4 =3 n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1) Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs. 1 7 3 8 4 4 2 gap(Cn) = n+1 2 4 4 6 4 8 1 3 5

Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) Case (b).2 : n mod 4 =2 f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et f(e1)=7 5 6 2 1 n+2-i i paire Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) = 4 1 i mod 4=2 2 i mod 4=0 2 5 1 2 3 gap(Cn) =n+1

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Coloration arête équilibrée Définition 2 Pour chaque sommet v de G=(V, E): Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈ e , Max f(e) v ∈ e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø I(v1)=[1,6] v1 5 3 1 6 v2 v3 v4 I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5}

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 4 : Soit G un graphe avec δ(G) ≥ 2. S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) ≥2 S’il existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) ≤ k. gap(G) ≤ k. Preuve gap(H) ≤ k. Pour toute (u,v) de V: c(u)≠c(v) et f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v) Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x, gap(G) ≤ k. 4 3 2 2 1 2 2 2 I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 5 Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons gap(G) = n Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de G. Algorithme Polynomial

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Notations Au cours de l'algorithme: Soit Sc l’ensemble courant des sommets codés . Initialement Sc= Ø. Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à  au moins deux arêtes colorées (e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Notations Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et non encore inclus dans l’ensemble Sc. Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u. Sc P(u) v 1 u 7 8 N(Sc)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Algorithme Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4). Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à : Cycle de longueur multiple de 4. Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun. Observation Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) ≥3 , le sous-graphe H peut être toujours obtenu à partir de G.

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration) Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4 Sc=V(H) 1 i mod 4=2 f(ei) = n-i+1 i impaire 2 i mod 4=0 7 1 5 8 6 2 6 4 Principe Pour tout sommet v de H : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc), Soit une chaine R=P(u) d’ordre k Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod 4=0,1,2,3. Sc= Sc U V(R) Si |Sc|<|V| 1 5 7 5 3 u 8 6 2 2 6 4 Principe Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc), Soit une chaine R=P(u) d’ordre k Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod 4=0,1,2,3. Sc= Sc U V(R) 1 5 7 5 3 u 8 6 5 2 2 2 2 6 4 2 3 Principe Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v) 1

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Etape 4: Pour chaque sommet v de G : 2∈ I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v) Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2 Fin de l’algorithme gap(G)=n. 1 5 7 5 3 8 2 6 5 2 2 2 2 6 4 2 3 2 1

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous-graphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle. Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet identifiante équilibrée Corollaire 6 Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6. Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Graphe de degré minimum δ (G) = 1 Théorème 7 : gap(Pn) = n, si n=2, 3(mod 4) (a) gap(Pn) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b)

Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Graphe de degré minimum δ (G) = 1 Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons gap(BT) = n − 1. Théorème 9 Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons gap(T) ≤ n.

Coloration Gap sommet-identifiante Perspective Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2) Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2, gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Conjecture 3 (Arbre) Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3, gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a) gap(T) = n-1 sinon (b)

Merci pour votre attention