Lionel GRILLETLycée B FRANKLIN DynamiqueDynamique Terminale Si

Repère Galiléen Pour nos études Un repère fixe par rapport à la terre sera supposé galiléen Repère absolu Repère fixe par rapport à l’univers (???) Repère de Copernic ou Repère héliocentrique Repère fixe par rapport au système solaire Repère de Galiléen Repère en translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic Définitions

Dynamique du point Enoncé Soit un point Matériel P, de masse m, en mouvement par rapport à un repère galiléen R g, alors la somme des efforts extérieurs qui agissent sur la particule est égale à sa masse multipliée par son accélération. Principe fondamental de la dynamique = 2 ème loi de Newton Mathématiquement NEWTON Portrait par Enoch Seeman en 1726 Attention ! « Force » d’inertie Pseudo Pb de statique

Exemple simple La Chute libre (sans frottement) (S) (R g ) Un point matériel S de masse m qui tombe… Force extérieurePoids Accélération Le PFD donne : soit Paramétrage : Vous le saviez déjà ! L’accélération et donc la vitesse ainsi que la durée de la chute sont indépendants de la masse du solide Accélération de pesanteur

Exemple intéressant Le Pendule Soit une particule de masse m reliée au bâti par un fil de masse négligeable. Déterminons l’équation du mouvement Problème Etude cinématique Efforts extérieurs Paramétrage de la position Accélération Poids de la particule Tension du fil O G (S) (R g )

Le Pendule Point de vue mécanique du point PFD appliqué à G dans son mvt/Rg On projette sur la base Sur équation qui donne la tension du fil T C’est l’équation du mouvement O G (S) (R g )

Le pendule Point de vue mécanique du Solide Graphe des liaisons On note (1) l’ensemble constitué de la particule (S), de masse m et du fil, de masse négligeable Bilan des forces Action de pesanteur Forces d’inertie Liaison pivot 01 pivot O G (S) (R g ) Dans un premier temps on définie le torseur des forces d’inertie

Moment d’inertie de S / Accélération angulaire Le pendule Appliquons le « pseudo » PFS L’équation de moment en O en projection sur z donne O G (S) (R g ) d On ne cherche pas les inconnues de la pivot donc on utilise la condition Moment dynamique

Torseur Dynamique définition Soit un système S de masse M en mouvement par rapport à un repère galiléen Le torseur dynamique de S/Rg s’écrit en un point O quelconque : moment dynamique en O. Résultante dynamique Bien entendu, on a, pour tous points A et B ! Difficulté

Dynamique du solide Principe Fondamental de la Dynamique ( PFD ) Enoncé Soit un Solide (S), de masse M et de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère galiléen R g, alors la somme des torseurs des efforts extérieurs qui agissent sur (S) est égale au torseur dynamique de (S) dans son mouvement par rapport à Rg Mathématiquement Théorème de la Résultante Dynamique – (TRD) Théorème du Moment Dynamique – (TMD)

Résultante Dynamique Démonstration MiMi O (S) En tout point Mi, On pose Résultante dynamique = Masse de (S) *Accélération du centre d’inertie de (S) Démonstration

Moment dynamique « 2D » MiMi O (S) Restrictions  Problème plan  Solide en rotation autour d’un axe fixe : Moment d’inertie de (S) autour de l’axe Démonstration

Moment dynamique « 3D » Restrictions  Solide en rotation autour d’un axe fixe  Plan de symétrie de (S) Modèle : Le solide (S) est un « empilement » de sections S j On note CjCj O CjCj GjGj D’après ce qui précède, on peut écrire, en tout point C j AvecProduit d’inertie Démonstration

Moment dynamique Analyse du moment d’inertie Cas général d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Pour lancer ou arrêter un solide en rotation, il faut lutter sur l’axe de rotation contre un « couple d’inertie » proportionnel  à l’accélération angulaire  au moment d’inertie Moment d’inertie du solide (S) autour de l’axe Représente la répartition de la masse autour de l’axe

Moment dynamique Analyse des produits d’inertie « couples » d’inertie  l’axe de rotation. Pas de couple  l’axe de rotation. Si la masse est « mal » répartie. Si la masse est bien répartie. = le centre d’inertie de chacune des sections est sur l’axe de rotation L’axe est dit principal d’inertie Le solide est équilibré dynamiquement = le centre d’inertie de chacune des sections n’est pas sur l’axe de rotation La direction des couples tourne avec le solide Proportionnel :  à l’accélération angulaire  à la vitesse angulaire  aux produits d’inertie VIBRATIONS

Paramètres d’inertie Remarques Mécanique du point et Mécanique du solide Masse du solide : M en kg Position du centre d’inertie : G Mécanique du solide Moment d’inertie et Produit d’inertie : en kg.m 2 Un repère étant lié au solide, on peut définir  3 moments d’inertie : un pour chaque axe I xx I yy I zz  3 produits d’inertie P xy P yz P xz Car symétrique I xy I yz I zx ou Ces 6 termes permettent de calculer les moments d’inertie et les produits d’inertie pour n’importe quel autre axe.

Paramètres d’inertie sous MOTIONWORKS Un repère lié au solide est créé en même temps que la liaison Pour chaque corps en mouvement Position du centre d’inertie Masse Moments d’inertie Produits d’inertie

Dynamique à savoir parfaitement Le PFD Solide en translation rectiligne Torseur dynamique définit en G (centre d’inertie) En un point O quelconque Solide en Rotation Autour d’un axe fixe Torseur dynamique définit en C sera une donnée Le solide sera toujours équilibré Et si possible « sentir » la chose