Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 1 Évaluations des réserves

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Développement Fréquence / Sévérité Précédemment, nous avons appris à développer en agrégé des sinistres payés et déclarés afin d'estimer le montant total des sinistres ultimes. Une autre méthode consisterait à estimer séparément le nombre de réclamation et la sévérité moyenne des sinistres à l'aide de triangles de développement (comme la méthode de développement classique). Puis, d'arriver à un estimer du montant total des sinistres en multipliant nos deux estimés. Comme le nombre de réclamations n'évolue pas nécessairement de la même façon que la sévérité moyenne à travers le temps, on peut gagner en précision en les estimant séparément. Certains événements vont aussi affecter la fréquence différemment de la sévérité et leur impact pourrait donc plus facilement être déterminé. Sinistres Ultimes = Nombre de Réclamations Ultime * Sévérité Moyenne Ultime

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 1 Méthode 1 Le développement s'applique séparément aux nombres de réclamations et à leur sévérité moyenne. Hypothèses principales 1) Les nombres de réclamations sont définis de façon constante à travers la période d'expérience Par exemple, il ne faut pas mélanger des sinistres comptés selon le nombre daccidents et d'autres selon le nombre de réclamations, car un accident peut engendrer plusieurs réclamations différentes. 2) Les réclamations sont relativement homogènes (i.e. Réclamations aberrantes sont exclues de l'analyse)

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 1 Méthode 1 Cette méthode assume aussi que : - Comme la méthode de développement classique, les réclamations déclarés (ou fermés) jusqu'à ce jours vont continuer de se développer de façon similaire dans le futur - Le changement relatif de la sévérité pour une certaine année d'un âge à un autre sera similaire au changement relatif des années passés pour les mêmes âges. Méthode 1 - Étapes 1) Projeter et estimer le nombre de réclamations ultimes 2) Projeter la sévérité moyenne ultime 3) Calculer les sinistres ultimes (# de sinistres ultimes * sévérité moyenne ultime) 4) Estimer les sinistres non-payés

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 – Projeter et Estimer le nombre de réclamations ultime Pour l'estimer du nombre de réclamations ultimes, l'actuaire peut projeter soit le nombre de réclamations fermées ou le nombre de réclamations déclarées à l'aide d'un triangle de développement. Théoriquement, ces deux estimés devraient converger vers la même valeur, sinon il pourrait y avoir un problème avec l'information utilisé ou un changement opérationnel quelconque expliquant la différence. Si une différence est observée, il sera important d'investiguer la source de cette différence. (i.e. Un triangle de ratios de réclamations fermées / déclarées pourrait être analysé) Par exemple, si le nombre de réclamations fermées excluent les réclamations fermées sans paiements, mais les réclamations déclarées les incluent, les deux méthodes risquent de produire des estimés différents. Il sera aussi important que les sinistres incluent dans le calcul de la sévérité moyenne soit aussi considéré dans le nombre de réclamation estimé. Si la sévérité inclut les dépenses reliés aux sinistres (ALAE), il faudra s'assurer de compter les réclamations générant seulement des dépenses, mais aucun sinistre payé.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 Projeter la sévérité moyenne Pour cette méthode, la sévérité moyenne sera définit comme étant égal à : Sévérité moyenne = Sinistres déclarés totaux / # de réclamations déclarés Projeter les sinistres ultimes Pour chacune des différentes périodes, les sinistres ultimes seront égaux à : Sinistres Ultimes = # de Réclamations Ultime * Sévérité Moyenne Ultime Estimer les Sinistres Non-Payés Similaire aux autres méthodes, l'estimé total des sinistres non-payés (réserves totales) sera : Réserves totales = Réserves actuarielles + Réserves aux dossiers Réserves actuarielles = Sinistres ultimes – Sinistres déclarés.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 Exemple 1 :À l'aide des triangles ci-dessous et ceux de la page suivante, estimer les sinistres ultimes pour le premier semestre de

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 Exemple 1 :À l'aide des triangles ci-dessous et ceux de la page précédente, estimer les sinistres ultimes pour le premier semestre de

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 Exemple 1 :À l'aide des triangles ci-dessous et ceux des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour le premier semestre de

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 1 Exemple 1 :À l'aide des triangles ci-dessous et ceux des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour le premier semestre de

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 2 Méthode 2 – Ajout de l'inflation Cette méthode aura les mêmes hypothèse que la méthode 1, mais en incorporant divers types d'inflation : - Inflation de l'exposition aux sinistres (Exposure Trend) - Inflation de la fréquence (Frequency Trend) - Inflation de la sévérité (Severity Trend) En pratique, lors de la sélection des facteurs d'inflation, plusieurs points seront aussi à considérer : - Facteurs économiques - Facteurs sociaux (la tendance des assurés à déclarer plus de sinistres ainsi que des sinistres d'une valeur moyenne plus élevée) - Niveau de taux variant par ligne d'affaire...

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 2 Méthode 2 – Étapes 1) Projeter et estimer le nombre de réclamations ultime (Similaire à la Méthode 1) 2) Comparer le nombre ultime de réclamations à l'exposition et la fréquence sélectionné (Nouveau point comparé à la Méthode 1) 3) Projeter la sévérité moyenne ultime en considérant l'inflation affectant la sévérité 4) Calculer les sinistres ultimes 5) Estimer les sinistres non-payés

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Comparer le nombre ultime de réclamations à l'exposition et la fréquence sélectionné Pour cette méthode, nous ajoutons une étape à l'analyse de la fréquence en comparant le nombre de réclamations ultimes à notre base d'exposition. Puis, nous faisons une sélection de la fréquence ultime en fonction de notre exposition pour chacune des périodes. En résumé, il faudra : 1) Appliquer l'inflation de la fréquence aux # de réclamations ultime historique jusqu'à la période que nous désirons projeter 2) Appliquer l'inflation de l'exposition à notre base d'exposition historique jusqu'à la période que nous désirons projeter 3) Calculer la fréquence ultime historique de la période que nous désirons projeter Fréquence = Nombre de réclamations / Exposition 4) Sélectionner un facteur pour la fréquence ultime

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Considérer l'inflation affectant la sévérité et sélection final Une fois la sévérité moyenne ultime calculée pour chacune des périodes passées (similaire à la Méthode 1), nous allons ajuster les sévérités moyennes passées pour l'inflation de la sévérité. Pour y arriver, nous allons simplement appliquer l'inflation de la sévérité aux sévérités moyennes historiques jusqu'à la période que nous désirons projeter. Calculer les sinistres ultimes Une fois la sélection de notre sévérité moyenne ultime faite, les sinistres ultimes seront simplement calculés de cette façon : Sinistres Ultimes = Base d'exposition * Fréquence Ultime * Sévérité Moyenne Ultime Note On se rappel que dans cette méthode, la fréquence ultime est un % de notre exposition

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 2 Exemple 2 :À l'aide des données ci-dessous, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance Ligne d'affaire : Indemnisation pour accidents au travail. Inflation de l'exposition = 2.50% Inflation de la fréquence = -1.00% Inflation de la Sévérité = 7.50%. AnnéeSalaire (,00) , , , , , , , ,000

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 2 Exemple 2 :À l'aide des données ci-dessous et celles de la page précédente, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance Ligne d'affaire : Indemnisation pour accidents au travail.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 2 Exemple 2 :À l'aide des données ci-dessous et celles des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance Ligne d'affaire : Indemnisation pour accidents au travail.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 3 Méthode 3 – Disposal Rate Cette méthode sera significativement différente des deux autres méthodes et aura donc des hypothèse différentes : - La déclaration des sinistres ainsi que la fermeture des sinistres historiques soient prédictives du futur - Les paiements partiels sont minimes (vs paiements complets) - Beaucoup plus d'importance sera accordé à l'inflation de la sévérité. Pour cette raison, le facteur d'inflation devra être choisi avec précaution.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Types de Méthodes Fréquence / Sévérité – Méthode 3 Méthode 3 – Disposal Rate - Étapes 1) Projeter et estimer le nombre de réclamations ultimes (similaire aux autres méthodes) 2) Construire un triangle de Disposal Rates et sélectionner un facteur pour chaque âge 3) Projeter le nombre incrémental de réclamations pour chaque période et chaque âge 4) Analyser les sévérités incrémentales moyennes historiques et sélectionner une sévérité moyenne par âge 5) Projeter les sévérités moyennes pour chaque période et chaque âge (selon un facteur d'inflation de la sévérité) 6) Calculer les sinistres ultimes (# de réclamations ultime * Sévérité moyenne ultime) 7) Estimer les sinistres non-payés

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Construire un triangle de Disposal Rates et sélectionner un facteur pour chaque âge Les « Disposal rates » seront définis pour chaque période/âge comme étant égaux à : Disposal rates = # de réclamations fermées cumulatives / # ultime de réclamation sélectionné Ce ratio représentera donc le % du nombre de réclamations ultimes qui sont fermées à différents âges pour une même année. Une fois le triangle de Disposal Rates construit, il faudra faire une sélection pour chacune des âges. Cette sélection pourrait être basé sur différentes moyennes ou même sur la médiane des données.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Projeter le nombre incrémentale de réclamations pour chaque période et chaque âge Nous devrons créer un triangle contenant le nombre incrémentale de réclamation historique. Puis il faudra projeter le nombre incrémentale de réclamation dans le futur pour chaque âge. Il faudra donc complété le rectangle au complet : Triangle du Haut Le triangle du haut représente les données historiques et devront simplement être présenté en format incrémental.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Projeter le nombre incrémentale de réclamations pour chaque période et chaque âge Triangle du Bas Le Triangle du bas représente nos projections qui seront calculées à partir du # ultime de réclamations de l'étape 1 et les Disposal Rates de l'étape 2 selon cette formule : Ru = # de Réclamations Ultimes Rc = # de réclamations fermées cumulatives basé sur les données historiques seulement (Réclamations de la dernière diagonale) Drc = Disposal Rate de la dernière diagonale Dr(y)= Disposal Rate pour l'âge y # incrémental de réclamations = [(Ru-Rc) / (1-Drc)] * [Dr(y) - Dr(y-1))]

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Analyser la sévérité moyenne incrémentale historique et sélectionner une sévérité moyenne par âge Pour analyser la sévérité moyenne incrémentale, il faudra : 1) Créer un triangle de sinistres payés incrémentaux 2) Calculer la sévérité incrémentale moyenne = sinistres payés incrémentaux / nombre incrémental de sinistres fermés 3) Ajuster les sévérités moyennes au niveau de la dernière période disponible en appliquant l'inflation. 4) Sélectionner une sévérité moyenne pour chaque âge (pour la dernière période disponible seulement) Encore une fois, lors de la sélection de la sévérité moyenne par âge, plusieurs moyennes peuvent être considérées.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Projeter les sévérités moyennes pour chaque période et chaque âge À partir d'un triangle de sévérité moyenne incrémentale, on va projeter la sévérité moyenne incrémentale dans le futur pour chaque âge. Il faudra donc complété le rectangle au complet : Triangle du Haut Le triangle du haut représente les données historiques et devront simplement être présentées en format incrémental. Triangle du Bas Le Triangle du bas représente nos projections qui seront calculées en appliquant l'inflation sur les sévérités moyennes sélectionnées de cette façon : a= Inflation de la sévérité n= # de période entre la dernière période et celle qu'on veut projeter Sévérité moyenne projeté = Sévérité moyenne sélectionnée pour la dernière période / (1+a)^n

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Calculer les sinistres ultimes (# de réclamations ultime * Sévérité moyenne ultime) Pour calculer les sinistres ultimes, on devra construire le haut et le bas du triangle des sinistres payés incrémentaux à partir des triangles développés de sévérité moyenne et de réclamations. Il faudra donc : - Calculer les sinistres payés incrémentaux en multipliant le # incrémental de réclamations fermées par la sévérité moyenne incrémentale - Une fois le triangle incrémentale construit, on devra calculer les sinistres ultimes cumulatifs en additionnant les sinistres payés incrémentaux pour chacune des périodes.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 3 Exemple 3 :À l'aide des données ci-dessous, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 3 Exemple 3 :À l'aide des données ci-dessous et celles de la page précédente, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 3 Exemple 3 :À l'aide des données ci-dessous et celles des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 3 Exemple 3 :À l'aide des données ci-dessous et celles des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Méthode 3 Exemple 3 :À l'aide des données ci-dessous et celles des pages précédentes, estimer les sinistres ultimes pour l'année de survenance

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Avantages / Désavantages des méthodes Fréquence-Sévérité Avantages - Plus précise que les autres méthodes de développement pour les périodes plus récentes - Produient de l'information pertinente sur le processus de réclamation d'une compagnie - Peuvent refléter l'effet de l'inflation Désavantages - L'information nécessaire n'est pas toujours disponible - Nécessite que le # de réclamation soit définit de façon constante à travers le temps - Si la distribution des réclamations n'est pas homogènes, cela va biaiser les résultats produit si aucun ajustement n'est fait.

Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 - Spring 2012 : #20 Exam 5 - Spring 2011 : #28 Exam 6 - Fall 2010 : #16 Exam 6 - Fall 2009 : #4 Adler and Kline = Méthode 3 F/S Exam 6 - Fall 2008 : #3 Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante : ou