MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Vingt-troisième cours ACT Cours 23

2 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation ACT Cours 23

3 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation
Formule prime/escompte du prix d’une obligation ACT Cours 23

4 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation
Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation ACT Cours 23

5 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation
Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation ACT Cours 23

6 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation
Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation Valeur comptable d’une obligation ACT Cours 23

7 Rappel: Formule basique du prix d’une obligation
Formule prime/escompte du prix d’une obligation Formule du montant de base du prix d’une obligation Formule de Makeham du prix d’une obligation Valeur comptable d’une obligation Amortissement d’une obligation ACT Cours 23

8 La formule basique pour le prix d’une obligation est
Rappel: La formule basique pour le prix d’une obligation est ACT Cours 23

9 La formule prime/escompte pour le prix d’une obligation est
Rappel: La formule prime/escompte pour le prix d’une obligation est ACT Cours 23

10 La formule du montant de base pour le prix d’une obligation est
Rappel: La formule du montant de base pour le prix d’une obligation est ACT Cours 23

11 La formule de Makeham pour le prix d’une obligation est
Rappel: La formule de Makeham pour le prix d’une obligation est ACT Cours 23

12 Rappel: Si P > C, nous disons que l’obligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que l’obligation est vendue à escompte. ACT Cours 23

13 Rappel: la valeur comptable de l’obligation après le versement du ke coupon sera notée par Bk la portion d’intérêt du ke coupon sera notée par Ik l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le ke coupon sera notée Pk ACT Cours 23

14 Si l’obligation a n versements de coupon, alors
Rappel: Si l’obligation a n versements de coupon, alors B0 = P et Bn = C . ACT Cours 23

15 Rappel: La valeur comptable Bk immédiatement après le ke coupon est obtenue en utilisant une des formules (formule basique ou encore formule prime/escompte ou les deux autres) du prix de l’obligation au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement. ACT Cours 23

16 Rappel: La portion d’intérêt Ik du ke coupon est iB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i. L’ajustement Pk à apporter à la valeur comptable dans le ke coupon est Pk = Fr - Ik . Nous avons Bk = Bk-1 - Pk . ACT Cours 23

17 Considérons maintenant la table d’amortissement d’une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d’intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. ACT Cours 23

18 À cause de la formule prime/escompte, nous avons
où i est le taux de rendement . ACT Cours 23

19 Mais nous aurions aussi pu utiliser la formule basique et obtenir
où i est le taux de rendement . ACT Cours 23

20 ACT Cours 23

21 Exemple 1: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 6% par année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année. ACT Cours 23

22 En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix
Exemple 1: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à escompte, car son prix P = est inférieur à sa valeur de remboursement C = 1100. ACT Cours 23

23 Période de capitalisation
Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1 50 2 3 61.956 4 5 6 7 65.094 ACT Cours 23

24 Dans l’exemple précédent, si nous voulons calculer la valeur comptable B4, nous utilisons la formule basique et obtenons puisqu’il reste 3 périodes de capitalisation et 3 coupons de 50$ . Donc ACT Cours 23

25 Nous aurions aussi pu calculer cette valeur comptable B4, rétrospectivement. Dans ce cas nous utilisons la valeur accumulée du prix au taux de rendement à la date du 4e coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des coupons versés à la même date, à savoir celle du 4e coupon. Il faut inclure le 4e coupon. Donc ACT Cours 23

26 Exemple 2: Considérons une obligation dont la valeur nominale est 1000$, la valeur de remboursement de 1100$, le taux facial est de 5% par année et les coupons sont versés une fois par année. La durée de vie de cette obligation est de 7 ans. Celle-ci est achetée pour obtenir un rendement de 4% par année. Déterminons son prix et sa table d’amortissement. Le coupon est de 1000 (0.05) = 50$ à chaque année. ACT Cours 23

27 En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix
Exemple 2: (suite) En utilisant la formule basique, nous obtenons pour le prix Cette obligation est achetée à prime, car son prix P = est supérieur à sa valeur de remboursement C = 1100. ACT Cours 23

28 Période de capitalisation
Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1 50 4.5596 2 45.258 4.742 3 4.9316 4 5.1288 5 44.666 5.334 6 5.5472 7 5.7692 ACT Cours 23

29 Ainsi nous avons deux approches pour calculer la valeur comptable Bk d’une obligation: prospectivement ou encore rétrospectivement. ACT Cours 23

30 Prospectivement il suffit d’utiliser une des formules du prix pour calculer la somme des valeurs actuelles des (n - k) coupons non versés et la valeur actuelle de la valeur de remboursement pour (n - k) périodes de capitalisation. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l’achat ACT Cours 23

31 Rétrospectivement il suffit de calculer la valeur accumulée du prix d’achat P de l’obligation après le ke coupon, auquel nous soustrayons la somme des valeurs accumulées des k premiers coupons. Ces calculs sont faits avec le taux de rendement i obtenu lors de l’achat ACT Cours 23

32 Exemple 3: Reprenons l’exemple 1 du 22e cours. Considérons une obligation dont la valeur nominale est 75000$ d’une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement. ACT Cours 23

33 Exemple 3: (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons
F = 75000$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre Nous avons aussi calculé le prix P = $ ACT Cours 23

34 Exemple 3: (suite) Déterminons la valeur comptable B17 immédiatement après le 17e coupon, la portion d’intérêt I18 de la 18e période et l’ajustement à apporter P18 à la valeur comptable au 18e coupon. ACT Cours 23

35 Prospectivement nous obtenons que
Exemple 3: (suite) Prospectivement nous obtenons que Rétrospectivement nous obtenons que ACT Cours 23

36 La portion d’intérêt I18 de la 18e période est
Exemple 3: (suite) La portion d’intérêt I18 de la 18e période est L’ajustement P18 à apporter à la valeur comptable est ACT Cours 23

37 Exemple 3: (suite) Conséquemment la valeur comptable à la fin de la 18e période est B18 = B17 - P18 = ( ) = Nous pourrions vérifier aussi ceci. Prospectivement ou encore rétrospectivement ACT Cours 23

38 Lorsque les coupons de l’obligation sont égaux, nous pouvons remarquer que les ajustements Pk de la valeur comptable forment une suite géométrique de raison (1 + i). ACT Cours 23

39 L’amortissement est tout à fait similaire à ce qui se produit pour l’amortissement des prêts. Lorsque les coupons sont égaux pour l’obligation et que les paiements sont égaux pour le prêt. La valeur comptable de l’obligation au ke coupon est similaire au solde restant du prêt après le ke paiement. La portion d’intérêt de la ke période pour l’obligation correspond à la portion d’intérêt du ke paiement. ACT Cours 23

40 Finalement l’ajustement pour l’obligation est similaire à la portion de principal. Cependant pour l’obligation, l’ajustement peut être négatif ou positif; alors que la portion de principal pour les prêts est toujours positive. ACT Cours 23

41 Nous avons décrit jusqu’à maintenant la méthode actuarielle pour la construction de la table d’amortissement de l’obligation. Il existe une seconde méthode beaucoup plus simple: la méthode linéaire. ACT Cours 23

42 Dans la méthode linéaire, l’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n]. ACT Cours 23

43 Exemple 4: Reprenons l’exemple 1. Cette obligation est achetée au prix de pour un taux de rendement de 6% par année. Le coupon est de 50$ à chaque année et sa valeur de remboursement est Dans ce cas, l’ajustement sera toujours ( )/7 = $ La table d’amortissement est alors ACT Cours 23

44 Période de capitalisation
Coupon Intérêt Ik Ajustement Pk Valeur comptable Bk 1 50 62.76 2 3 4 5 6 7 ACT Cours 23

45 Nous allons maintenant considérer le prix d’une obligation entre des paiements de coupon. Avant d’analyser plus en détail ceci, nous allons illustrer ce prix en faisant l’hypothèse que le taux de rendement demeure constant pour toute la durée de vie de l’obligation. ACT Cours 23

46 Considérons le prix P(x) d’une obligation au moment x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8. ACT Cours 23

47 Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant:
Alors P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Nous obtenons donc que Nous avons illustré cette fonction sur le graphe suivant: ACT Cours 23

48 ACT Cours 23

49 Notons qu’il y a un saut à chaque x égal à un entier et il est égal à -4. En effet,
ACT Cours 23

50 À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de l’obligation. ACT Cours 23