Cinématique : concepts de base Descriptions spatiales et transformations Introduction au mouvement

Objectifs Représenter la position et l’orientation; Calculer les transformations entre systèmes de coordonnées; Utiliser les coordonnées homogènes.

Introduction Le fonctionnement du robot implique des mouvements dans l’espace; Des systèmes de coordonnées sont nécessaires pour décrire les positions et les mouvements dans l’espace; Les mouvements sont relatifs à des corps rigides; Point de départ : il existe un repère stationnaire qui sert de référence pour tous les autres systèmes de coordonnées.

Description d’une position {A} Système de coordonnées (repère) AP Point YA XA ZA

Description d’une orientation Un point ne suffit pas. Il faut aussi une orientation zA {A} yB yA Orientation = repère additionnel {B}.  xB xA zB {B} La description de {B} par rapport à {A} suffit pour donner l’orientation.

Exemple en 2D (1) YA YB {A} {B} XB  OB OA XA La description de {B} se traduit par une translation ( ) suivie d’une rotation (). T

Exemple en 2D (2) YA YB {A} {B} XB Y’B OB X’B  OA XA On peut aussi commencer par la rotation et terminer par translation. L’ordre est indifférent.

Exemple en 2D (3) YA Point YB y0 P y1 XB  x1 OB x0 OA XA Soit un point P de coordonnées x1 et y1 dans le repère {B} et x0 et y0 dans le repère {A}

Exemple en 2D (4) YA Point YB y0 P y1 XB  x1 OB x0 OA XA Soit et les vecteurs unitaires de {B} x1  OB x0 OA XA Coordonnées de dans {A} : cosq et sinq Coordonnées de dans {A} : -sinq et cosq

YA Exemple en 2D (5) Point YB y0 P y1 XB x1  OB x0 OA XA

Exemple en 2D (6) YA Point YB y0 P y1 XB x1  OB x0 OA XA est la matrice de rotation de {A} vers {B} est le vecteur de translation de {A} vers {B}

Exemple en 2D (7) YA Point YB y0 P y1 XB  x1 OB x0 OA XA colonnes = coordonnées des vecteurs unitaires de {B} dans {A} coordonnées de l’origine de {B} dans {A}

Exemple en 2D (8) {A} et {B} jouent des rôles équivalents. Donc on peut écrire : Avec également : Donc : et

Propriétés de correspond à une rotation de q Donc :

En résumé L’orientation est donnée par la matrice de rotation MR ; Les colonnes de la MR sont des vecteurs unitaires orthogonaux deux à deux ; La MR est donc une matrice orthogonale et on a : Les colonnes de sont les vecteurs unitaires de {B} écrits dans {A}; Les lignes de c’est à dire les colonnes de sont les vecteurs unitaires de {A} écrits dans {B}.

Généralisation au 3D (1) Le principe est le même ; {A} XB YB ZB XA YA ZA Point OA OB {B} P

Généralisation au 3D (2) On considère d’abord la rotation (OA confondu avec O’B); {A} ZA OA O’B P’ YA X’B Z’B {B’} P OB Point Y’B XA On translatera ensuite P’ en P.

Généralisation au 3D (2) Exercice : donner une expression de la matrice Suggestion : on considérera une rotation autour de ZA de a; puis une rotation autour du nouveau Y de b; enfin autour du nouveau X de g.

Généralisation au 3D (2) rotation a autour de ZA : rotation b autour du nouveau Y : rotation g autour du nouveau X :

Généralisation au 3D (3) Finalement : Soit :

Coordonnées homogènes (1) Ajouter un “1” Ajouter la ligne [0 0 0 1] Ajouter un “1”

Coordonnées homogènes (2) La transformation homogène est caractérisée par la matrice : Translation de l’origine Et on écrit :

Les opérateurs de mouvements : Translation, Rotation, Transformation généralisée Opérateur de translation : Opérateur de rotation : Translation du point P1 Transformation généralisée :

En résumé Pour un changement de repère, on a : Pour la transformation d’un point on a :

Composition de transformations

Remarque La matrice de rotation dépend de 3 paramètres (angles) ; On peut la paramétriser de différentes manières : Angles d’Euler ; Roulis, tangage , lacet ; Etc.