Il y a problème et problème Maggy Schneider Université de Liège

Les problèmes en mathématiques : difficiles mais incontournables « Ne dites pas : ce problème est difficile. Sinon, ce ne serait pas un problème (Poincaré)

Les problèmes en mathématiques : un sujet récurrent

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de malaise, d’obstacle :

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de malaise, d’obstacle :

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de forme d’apprentissage :

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Ou d’absence de guidance :

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Idée de nouveauté :

Les problèmes en mathématiques : une variété de points de vue Réponses d’étudiants : Obstacle, malaise, nouveauté, difficulté liée au problème ou à l’un ou l’autre concept, nouveauté, absence de guidance, gymnastique intellectuelle, modélisation de problèmes « concrets », appel au raisonnement logique, réorganisation de données, absence de « recette » et obligation de choisir une méthode ou plusieurs, … Fonctions didactiques : évaluation, introduction d’un concept, motivation des élèves, …

Les problèmes en mathématiques : des questions à problématiser Qu’est-ce qu’un problème concret ? La modélisation mathématique se réduit-elle à une démarche de traduction du langage courant en langage mathématique ? La résolution des problèmes est-elle réservée à des élèves forts ? Motive-t-on les élèves à travers les problèmes ? Par quel type de guidance les aider sans vendre la mèche? Y a-t-il des contenus qui « posent problème » plus que d’autres ?

Trois façons, parmi d’autres, de parler des problèmes De la psychologie à la didactique, on s’intéresse à la résolution de problèmes mais pas forcément de la même manière Visite de trois « lieux » où l’on parle de problèmes, à travers des exemples

De l’idée de difficulté aux obstacles psychologiques Psychologues du comportement : attitudes et habitudes mentales des sujets, restrictions implicites, … exemples : allumettes de Duncker, 9 points de Maier, sections planes de solides, brainstorming

Oser sortir du cube …

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Construire un triangle dont on donne les longueurs des trois médianes :

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? « Considérons le problème comme résolu » Recherche de lieux auxquels appartiennent des points clés : il faudrait deux lieux pour un même point

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Deux lieux pour E : cercle C3 et cercle C2, image de C1 lieu de D par une homothétie

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Méthode des deux lieux: « D’abord, ramener le problème à la construction d’UN SEUL point. Puis diviser la condition en DEUX parties telles que chacune d’elles fournisse un lieu géométrique pour le point inconnu; chaque lieu étant soit une droite, soit un cercle » (Polya) Exemples : construction d’un triangle dont on connaît les côtés, détermination d’une fonction répondant à plusieurs conditions à partir d’un modèle paramétré

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? Débat, en psychologie cognitive, sur l’efficacité des méthodes générales ou celle de méthodes spécifiques Etapes d’une résolution de problèmes par Schoenfeld : lecture de l’énoncé, analyse du problème, exploration des solutions possibles, planification d’une ou plusieurs stratégies de résolution, application de la ou des solutions, vérification de la solution en regard des données initiales Méthodes spécifiques : méthode des deux lieux, méthode des figures semblables (construction d’un triangle dont on donne les angles et le périmètre)

Existe-t-il des « méthodes » de résolution de problèmes ? « Un problème de géométrie analytique étant posé, après avoir reconnu à quel genre, parmi ceux que nous allons indiquer, il appartient, nous voulons donner les indications générales qui permettent d’arriver, aussi simplement que possible, à la solution qu’il comporte. Chaque énoncé particulier doit d’abord être classé; quand on a trouvé son genre, on applique au problème proposé les idées qui sont attachées à ce genre. Elles donnent une voie; il ne reste plus qu’à diriger les calculs avec exactitude » (Cours à l’usage des Candidats à l’Ecole Centrale et à l’Ecole Polytechnique) Efficacité plus grande des méthodes spécifiques

Et ces fameuses « situations-problèmes » ? « La coquille de l’argonaute » : une « situation-problème » relative à un cas de similitude Il s’agit de faire découvrir aux élèves le cas de similitude de deux triangles qui s’appuie sur l’égalité de deux angles en leur faisant construire une spirale rectiligne et analyser ses propriétés (programme FESeC)

Savoirs concurrents des cas de similitude Un préambule : « Axiome fondateur de la géométrie, le principe de l’égalité par superposition s’appuie essentiellement sur la notion de mouvement; la géométrie est ainsi fondée empiriquement sur le lien entre corps solide et mouvement, et c’est la coïncidence par transport d’un corps sur un autre qui permet de conclure à l’égalité de deux corps […]. Le problème de la géométrie est alors d’énoncer a priori des conditions d’égalité, ce qui permettra d ’éliminer le mouvement, remplacé par un raisonnement s’appuyant sur des critères d’égalité ainsi définis » (R. Bkouche) Donc la référence au mouvement ou l’exploitation des isométries concurrencent l’utilisation des critères d’isométrie. Et pour la similitude ?

Savoirs concurrents des cas de similitude Pour vérifier que deux triangles sont semblables, on peut : Déplacer l’un dans l’autre et vérifier le parallélisme des cotés non confondus (d’après le texte, les élèves sont censés savoir que les triangles sont alors homothétiques) Démontrer la similitude en exploitant l’égalité des angles correspondants et le théorème de Thalès dans les triangles Mettre en évidence l’existence d’une similitude qui envoie l’un sur l’autre Utiliser un critère de similitude Ici les élèves utilisent ce qu’ils savent faire et ce qui est induit par l’énoncé mais ne tombent pas … sur le savoir visé !

Le caractère fondamental des « situations-problèmes » D’où une caractéristique importante des « situations-problèmes » : le savoir visé doit être la réponse optimale, si ce n’est exclusive, pour répondre à la question posée et aux questions du même type

Un « flou artistique » autour des « situations-problèmes » Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques d’une situation d’apprentissage : Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite l’élève à faire quelque chose (compter - faire un dessin - calculer - couper …), Elle laisse à l’élève une certaine liberté quant au choix de sa méthode et de ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de l’élève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse l’utilisation immédiate de résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit l’élève à rédiger sa démarche, son raisonnement

Le questionnement des mathématiques comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de l’éducation « La singularité originaire de la didactique consiste à prendre comme objet premier à étudier (et donc à questionner, à modéliser et à problématiser selon les règles de l’activité scientifique), non pas le sujet apprenant ou le sujet enseignant, mais le savoir mathématique qu’ils sont censés étudier ensemble, ainsi que l’activité mathématique que leur projet commun d’étude les portera à réaliser. Pour expliquer les faits d’enseignement auxquels elle se voit confrontée, la didactique postule que le ‘mystère’ est dans les mathématiques, et non pas dans les sujets qui ont à apprendre et à enseigner les mathématiques. » (M. Bosch, Y. Chevallard, 1999)

Le questionnement des mathématiques comme rupture épistémologique de la didactique avec les autres sciences de l’éducation En particulier, la possibilité de faire travailler les élèves « en autonomie » est fonction d’une bonne « adéquation » entre la question posée et le savoir mathématique visé. D’où l’intérêt de penser « math » avant de penser « élèves »

Quel est l’impact des «situations-problèmes »  qui n’ont pas un caractère fondamental ? Les élèves ne sont pas dupes du caractère factice de certaines situations concrètes A la longue, cela provoque désintérêt et dérespon-sabilisation des élèves Nécessité d’inscrire les « situations-problèmes » dans un cadrage didactique plus vaste : TSD et TAD