Chapitre 5 : Etude de la Stabilité des systèmes dynamiques

5.1 Définition

Première approche de la stabilité Ce n ’est pas la résonance ! Système stable = en réponse à un échelon, le système se stabilise après un transitoire Exemples de systèmes instables :

Une approche plus mathématique Toute FT H(p) peut se décomposer en éléments simples : la CNS pour que H(p)=Num(p)/Den(p) soit stable est que tous ses pôles aient leur partie réelle négative : Equation caractéristique : Den(p)=0

5.2 Critère algébrique de Routh

Principe On considère le dénominateur de H(p) : Condition nécessaire de stabilité : Tous les coefficients de l’équation caractéristique sont de même signe. Condition nécessaire et suffisante de stabilité On construit un tableau à partir des coefficients. Si tous les termes de la première colonne sont de même signe, le système est stable ...

Exemple Système instable

5.3 Critère graphique du revers

L ’équation caractéristique Soit un système à retour unitaire : Sa FT en BF vaut : Les zéros de « l ’équation caractéristique » : correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative + Consigne H(p) Mesure -

Les critères graphiques L ’équation caractéristique peut être modifiée : Cela veut dire que dans le plan complexe, lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité C ’est ce constat qui est à l ’origine du critère du revers, qui est une simplification du critère de Nyquist (qui ne sera pas traité)

Le critère du revers On considère un système à retour unitaire : Ce système (BF) est stable si le lieu de Nyquist en BO (diagramme de Nyquist de H(p)) parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse le point critique (-1,0) constamment à sa gauche Mesure Consigne + - H(p)

Exemple R I -1 Stable R I -1 Limite de stabilité R I -1 Instable

Exemple : en BO Réponse indicielle en BF Diagramme de Nyquist en BO K = 1 stable K = 1.5 limite de stabilité

Mise en œuvre dans le plan de Bode Point critique (-1,0) « équivalent » aux points : A d ’amplitude 0 dB B de déphasage -180 ° Une courbe : un point Deux courbes : deux points -180° dB F ° A B R I -1 A B Stable

Equivalence Nyquist-Bode -180° dB F ° AB R I -1 Limite de stabilité : A et B sont identiques

Equivalence Nyquist-Bode -180° dB F ° B A R I -1 B A Système instable

5.4 Marges de stabilité

Principe La notion de stabilité est binaire Pour qu ’un système asservi soit performant, il ne suffit pas qu ’il soit stable, il doit l ’être « suffisamment » Dans le cas de l ’utilisation d ’un modèle simplifié, il faut tenir compte du fait qu ’il est simplifié et prendre une marge de sécurité Réponse indicielle d ’un système stable ; cette réponse n ’est cependant pas acceptable pour une régulation

Notion de marge de stabilité La notion de marge de stabilité peut être vue comme une « marge de sécurité » par rapport au point critique : pour être suffisamment stable, il faut suffisamment s ’éloigner du point critique Comment traduire cet éloignement ? : lieux de Nyquist et Bode : marge de gain et de phase lieu des pôles : gabarit

Marge de gain et de phase (en BO) -180° dB F ° A B Marge de phase Marge de gain R I -1 A B Marge de phase Marge de gain Valeurs courantes : - marge de phase : Mf = 30 à 50 ° - marge de gain : MG = 8 à 15 dB Dans les calculs, on privilégie l ’utilisation de la marge de phase Mf = 45 ° MG = 12 dB