Validation dans la classe de mathématiques Claudine Mary DEASS

Plan de la présentation Validation en mathématiques Cadres d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant Situations de validation

Validation en mathématiques En conclusion d’une résolution de problème, pour vérifier une procédure Pour s’assurer d’avoir la bonne réponse Pour convaincre d’un résultat Pour vérifier une conjecture Pour tester un modèle Dans la communauté mathématique, pour prouver qu’un énoncé est vrai et l’insérer dans une théorie pour partager le savoir

Différents enjeux: vérité ou vraisemblance? Recherche de vérité par nécessité  preuve – démonstration (Lakatos, Rouche, Balacheff/ Duval) Recherche de vraisemblance ou de pertinence  argumentation pour convaincre, vérification… Schéma S. E.. Projet mais pas forcément réussite: Parfois on peut Parfois, on ne peut pas Schéma Math Fonctions

Cadre d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant Structure de leçons (Joshua et Joshua): point de départ expérimental / sans point de départ expérimental Niveaux de preuve chez les élèves (Balacheff): combien de diagonales dans un polygone? Deux projets au moins dans la classe de mathématiques (Margolinas)

Point de départ expérimental Validation opétatoire implicite Ens. montre comment faire Les règles sont identifiées Les élèves essaient eux-mêmes la méthode Ils font des exercices… Validation "par nature" Él. manipulent du matériel constatent les règles avec l'aide de l'enseignant essaient sur quelques exemples font des exercices… Démarche de preuve RP Expérience par les élèves et conjectures Production de preuves et débat (expériences-tests et contre-exemples) Affinement des critères de validation et R du P Validation opératoire formelle En. montre comment faire Les propriétés sont identifiées En. démontre les propriétés Él. font des exercices…

Sans point de départ expérimental Validation opératoire implicite En. donne la théorie (définitions, propriétés...) Il donne des exemples (pour convaincre ou faire comprendre) L'élève fait des exercices… Validation démonstrative Enseignement de la méthode Pratique de la méthode: énoncé à valider Validation opératoire formelle En. donne la théorie (définitions, propriétés...) Il démontre les propriétés Les élèves font des exercices… Joshua et Joshua (1989)

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Action réelle sur les objets, ostension, opérations et concepts non différenciées, non organisés en discours Manuels

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Exemple qui fonde une procédure

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Les arguments se détachent de l’action pour reposer sur la formulation des propriétés en jeu et de leurs relations

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Action intériorisée avec explication des propriétés (action mentale sur un cas général)

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Calcul inférentiel qui s’appuie sur des définitions ou des propriétés explicites

Niveaux de preuve chez les élèves Combien de diagonales dans un polygone convexe? Arguments pragmatiques vérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Décontexualisation Détemporalisation Dépersonnalisation Formalisme ______ Généralisation Conceptualisation des connaissances exigés Balacheff, 1988

Deux projets dans la classe de mathématiques Théorie des situations de Brousseau  analyse des situations Phases de conclusion: phases d’évaluation / phases de validation Validation - preuve / validation – vérification Critère de validité: connaissances de l’élève Margolinas, 1989

Critères Preuve Vérification …de nécessité …de vraisemblance …engagé suite à une quasi-certitude Un énoncé est formulé puis débattu Projet public Ce qui importe c'est la généralité de la procédure Quand ça ne marche pas: contre-exemples ou contradictions Vérification …de vraisemblance …engagé suite à un doute Aucun énoncé n’est formulé Projet privé Centration sur le résultat et le procédé (comment on fait) Quand ça ne marche pas: erreur Pentamino devinette

Processus, procédé et procédure de résolution Processus de résolution : ensemble des actions et des modèles d’action mis en œuvre temporellement dans la résolution de problème (dépend du sujet, du moment, du contexte) Procédé de résolution : ce qui dans le processus est consciemment retenu par le sujet comme ayant contribué à obtenir la résolution Procédure de résolution : méthode générale qui conduit au résultat.

Techniques de vérification (pour obtenir une information sur le résultat) une double résolution par une même méthode une double résolution par une méthode différente l'utilisation d'informations supplémentaires non nécessaires à la résolution mais qui permettent une vérification une résolution dans un autre cadre (cadre géométrique par exemple alors qu'on travaille algébriquement) l'utilisation de propriétés mathématiques connues qui confirment ou infirment le résultat

Situations de validation Quelques considérations générales Ancrage expérimental Fonction sociale de la preuve Fonctions de la preuve: convaincre, faire comprendre! Quelle nécessité? Quelle rigueur? Résolution de problèmes de façon à ce que les élèves s’engage dans un processus de validation Le recours à des preuves intellectuelles ne va pas de soi (Balacheff)

Situations de validation (Exemples) Arsac (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège. Plusieurs exemples de suffisent pas à prouver Un dessin suffit-il à prouver? Comment remettre en cause les mesures sur un dessin? Le rectangle d’Euclide Comment aider les élèves à remettre en cause la valeur de preuve d’un instrument de mesure? Dreyfus, 1998 (cours, Université de Concordia): problème des angles inscrits Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours: situations de généralisation

Quelques références clés ARSAC, G. (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses universitaires de Lyon. IREM. BALACHEFF, N. (1988). Une étude épistémologique du processus de preuve en mathématiques au collège. Thèse présentée à l'Université National Polytechnique, Grenoble. DUVAL, R. (2005). Compréhension des démonstrations, développement de la rationalité et formation de la conscience individuelle. Actes du colloque du GDM, UQÀM, Montréal, pp. 5-38. DUVAL, R. (1992-1993). Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive? Petit x, no 31, pp. 37-61.

JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1988). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (deuxième partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, 9 (1), pp 5-30. JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1987). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (première partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, Vol. 8, no 3, pp. 231-266. LAKATOS, I. (1984). Preuves et réfutations. Paris: Hermann. Version originale: (1976) Proofs and Refutations, the Logic of Mathematical Discovery. Cambridge University Press.

MARGOLINAS, C. (1989). Le point de vue de la validation: essai de synthèse et d'analyse en didactique des mathématiques, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1. ROUCHE, N. (1989). Prouver: amener à l'évidence ou contrôler des implications? In: Commission Inter-IREM Histoire et Épistémologie des Mathématiques, La démonstration mathématique dans l'histoire, Actes du 7ème colloque inter-IREM épistémologique et histoire des mathématiques. Besançon, pp 9-38.

Pour compléter la bibliographie, voir: Mary C. (2003). Les hauts et les bas de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire. Éditions Bande didactique. Publication d’une thèse intitulée à l’origine « Place et fonction de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire ». Thèse présentée en 1999 à l’université de Montréal en vue de l’obtention du grade de Ph. D. en éducation.

Merci!

Vérité nécessaire / vérité contingente Une fonction des mathématiques est de permettre l’anticipation des résultats d’une action. Le mot anticipation recouvre un double mouvement: la prédiction, et la validité de la prédiction. Propositions mathématiques  apodictiques (nécessairement vraies), et non assertorique (vraies en fait) La découverte du caractère apodictique des propositions mathématiques fait partie de l’apprentissage Margolinas, 1989, p. 11

Démonstration Si P, on sait que P => Q, alors Q Si l'on veut démontrer que A =>D, il suffit de construire une chaîne en partant de A: A => B, si on a A donc B; B => C, on a B donc C; C => D, on a C donc D; par transitivité on peut conclure que A => D. "A => B", "B => C" et "C => D" sont des énoncés reconnus valides qui font le relais jusqu'à la conclusion. D est nécessairement vrai

Perspective épistémologique Résolution locale d'un problème Niveau 1: résolution générale pour un ensemble de cas possibles (raisonnement inductif) Niveau 2: généralisation à l'aide d'une suite d'opérations intermédiaires, suite d'évidences partielles, où un discours devient nécessaire (pensée discursive); Niveau 3: preuves qui s'appuient sur des objets abstraits, construits, les hypothèse distinguées de la conclusion, les opérations permises bien définies (pensée hypothético-déductive); discours de plus en plus symbolisé; ce qui importe est la validité des inférences compte-tenu des axiomes de départ et non une vérité unique (rigueur formelle) Rouche (1989) Niveaux de preuve

Conclusion de Rouche Étapes marquées par un changement non seulement de l’univers du sens mais par une modification du rapport au sens  Niveaux de preuve À chaque étape sa forme de rigueur Ne pas attendre la démonstration pour avoir une préoccupation de rigueur

Schéma de la validation dans la démarche scientifique

Schéma de la validation avec point de départ expérimental en mathématiques

Fonction de la validation (preuve) Faire accepter un résultat… Statuer et systématiser Expliquer et éclairer Convaincre Produire des connaissances Communiquer Fonctions

Theoreme 25. I- VxVyVz.x(y+z) =xy + xz Proof. Induction on z. P(x) is x(y+z) =xy + xz. 1. y + 0 = y N3 2. x(y + 0) =xy sub,1 3. xy + 0 = xy N3 4. x(y + 0) = xy + 0 =,2, 3 5. x0 = 0 N5 6. x(y + 0) = xy + x0 sub, 5, 4 7. x(y + z) = xy + xz as (ind. hyp.) 8.* y + z' = (y + z)' N4 9. x(y + z') = x(y + z)' sub, 8 10. x(y + z') = x(y + z) + x N6 11. x(y + z') = xy + (xz + x) =,9, 10 12. x(y + z') = (xy + xz) + x sub, 7, 11 13. (xy + xz) + x = xy + (xz + x) T2 14. x(y + z') = xy + (xz + x) =,12, 13 15 xz' = xz + x N6 16. x(y + z') = xy + xz' sub, 15, 14 17. Vz.x(y + z) = xy + xz Æ x(y + z') = xy + xz' DT, 7-16, and gen 18. Vz.x(y + z) = xy + xz ind, 6, 17 * z' = z + 1 Margaris, A. (1967). First Order Mathematical Logic, p. 138

Pour construire un carré d'aire double d'un carré donné, il suffit de prendre pour côté du carré à construire la diagonale du carré donné. En effet, soit le carré de la figure (a). Sa diagonale le divise en deux triangles isométriques que l'on peut réarranger pour en faire un demi-carré, comme à la figure (b). D'où la solution présentée à la figure (c) (a) (b) (c)

La somme des angles intérieurs d’un triangle… En chaque nœud du pavage se retrouve deux fois chacun des angles du triangle.

La somme des n premiers nombres entiers positifs S(n) est n(n+1)/2. Pour n=1, le théorème est vrai. Supposons qu'il est vrai pour un k quelconque. Alors S(k+1) = S(k) + (k+1) = n(n+1) / 2+ (n+1) = (n+1)(n+2) / 2 Donc l'énoncé est vrai pour k+1 s'il est vrai pour k. Par le théorème d'induction, l'énoncé est vrai pour tout n.

S = 1 + 2 + ... + n S = n + (n-1) + ... + 1 2S= (n+1)+ (n+1)+ ... + (n+1)= n(n+1) S = n(n+1) / 2 C.Q.F.D. Hanna (1995), p. 48.

Est-ce que ces angles peuvent être inscrits dans un cercle?

Validation empirique Règle à suivre: Avant d'affirmer qu'un énoncé mathématique est toujours vrai, il faut attribuer différentes valeurs à la variable. Mieux vaut éviter d'attribuer aux variables les valeurs 0, 1 et 2. Ces nombres présentent en effet trop de particularités. Voyez vous-mêmes: x + x = x C'est vrai si x = 0, mais c'est généralement faux! x  x = x C'est vrai si x = 0 ou 1, mais c'est généralement faux!

Problème des tables Élève Si on prend l'exemple de 3 tables, il y en a 1 à chaque bout, il y en a une à chaque table d'un côté et d'l'autre bord avec. T'imagines qu'il y en a 39 comme ça Exemple générique et expérience mentale

2 formules ont été obtenues Enseignant On a un problème. On vérifie si ça fonctionne. (Il montre sur le dessin.) On a 1 table. Ici ça vaut 1x2+2=4. J'ai bien 4 personnes. Ça fonctionne. Les élèves calculent avec lui. Celle-ci (1-2)x2 + 6 Les élèves calculent avec lui: Ça fait 4, ça fonctionne aussi Enseignant: Donc ça fonctionne aussi. Ils vérifient ensuite pour trois tables (en se fiant sur le dessin au tableau qui donne 8 comme résultat).

Question de l’équivalence Validation par l’intermédiaire des réponses  validation pragmatique En: Ces deux là fonctionnent. Est-ce que ça veut dire la même chose? Élèves: Oui En: Pourquoi? És: Parce que ça donne la bonne réponse

César et David 2 5 +2 -2 4 3 C : Ben ça fait le truc « + 20 – 2 ». D : Moi je fais pas « + 20 ». En à C.: Pourquoi? Qu’est-ce qui te fait dire ça? C : Ben parce qui augmente à deux dizaines, deux dizaines c’est équivalent à 20. D : C’est toujours 2. César: +20-2 David : 2 5 +2 -2 4 3 Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours

C: Comparaison de règles C : Il descend, pis il s’en va à gauche. (Sur la grille, il descend son doigt de deux cases et tasse son doigt de deux cases vers la gauche. Il refait le geste une 2e fois. Chemin vert) C : Il fait ça de même. (Il fait le même trajet avec son doigt sur la grille, à deux reprises). Dans le fond, notre forme elle fait ça de même. (Sur la grille, il tasse son doigt de deux cases vers la gauche puis de deux cases vers le bas. Chemin rouge) lui, elle fait ça de même (Chemin en vert.) 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Grille numérique C : Dans le fond, il reprend la forme 1. (silence) Heille! C’est la même affaire que la forme 1. Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours

Argument pragmatique C: «+20 – 2 » 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 Grille numérique C: «+18 » (sous l’influence de Stella) En: Est-ce que ça fonctionne toujours pis comment vous le savez que ça fonctionne toujours? C: Mais même si tu les fais toute ça va marcher quand même. Parce que euh… on se les disait pis c’était ça genre que j’utilisais, pis… on a utilisé peut-être une trentaine dans cette grille là pis je les disais toute bons. M: Moi j’ai essayé pis ça marche (…) avec 2. En: T’as essayé avec deux nombres (elle rit).

Reconnaissance d’une procédure Lors du choix de la forme la plus difficile, C dit: « Sont toutes pareilles parce que j’ai pas de problèmes de cases en tant que tel, parce que moi j’additionne la différence entre les deux…  je fais –3+20 et ça va donner la réponse [forme 7]» R : « + 17 » ça veut dire. C : Ou plus euh, attends peu. En : Roméo a dit « + 17 ». C : Oui, c’est ça. –2+20 ou –3+20 exemple générique

Argument général U a construit une forme qui est sensée être difficile: C dit : Tu fais ça. (Il montre qu'il n'a qu'à faire un « L » sur la forme d’U) C'est toute facile. Tu peux pas en dessiner une compliquée. Dégagement conscient d’une procédure schématisée par un L Seuls les aspects essentiels sont retenus La procédure devient critère de validité

Le rectangle d’Euclide Trace un rectangle ABCD tel que AB=8 cm et BC = 5cm. Place un point E sur AC tel que AE = 3 cm. Trace la parallèle à AD qui passe par E; elle coupe AB en N et DC en L. Trace la parallèle à AB qui passe par E; elle coupe AD en M et BC en K. Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire? A N B M K D L C Classe de 4e et 5e

Affiches produites par les élèves Dessin avec mesures Le rectangle BENK a une aire de 8,8 cm carrés et MELD de 8,5 cm carrés. Conclusion: le rectangle BENK a la plus grande aire. Pour vérification, on additionne toutes les aires du rectangle. Le résultat sera égal à 40 c’est-à-dire à l’aire du grand rectangle. Figure Le triangle CDA est égal au triangle CBA. Le triangle CLE est égal au triangle CKE. Le triangle EMA est égal au triangle ENA. Donc ENBK est égal à EMDL. Conclusion: Constat des différences conduit les élèves à Refaire les mesures, les calculs, réaliser de nouveaux les dessins sur lesquels ils refont les mesures et calculs. Objectif: recherche de présision… Améliorer l’activité de mesure, mais ils ne remettent pas en doute la méthode qui consiste à utiliser des mesures. rechercher un moyen de contrôler les résultats numériques. Mais la vérifiaction par addition des aires, proposée par certains élèves, renforce elle aussi le rôle des mesures. Elle leur permet de se sortir des différences numériques sans critiquer les méthodes. rechercher une explication aux différences constatées: des essais de raisonnement ne s’appuyant pas sur les mesures mais s’appuyant sur des dessins ou se référant à des conceptions erronées vopnt alors apparaître. Il y a bien une prise de conoscience de la contradiction entre les résultats mais pas de contradiction entre les méthodes.

Jeu des devinettes Choisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 0 et 10. Multipliez-le mentalement par 6 Divisez le nombre obtenu par 3. Divisez le nombre obtenu par 2. Enlevez le nombre choisi au départ. Ajoutez 7. Retranchez 2. Le but de l’activité est d’amener les élèves à réfléchir collectivement sur la généralité derrière la chaîne des opérations de calcul, de construire eux-mêmes de telles chaînes et de s’engager dans un processus de validation. 63 2- +7-2

Productions d’Ulysse a + n’importe quoi –a « Ça va marcher, tu gages? » Ça ne marche pas avec des X Tentative avec des + et - a+(2+5-4+3)-a = 6 Validation pragmatique L’expression construite sert de modèles pour d’autres Validation pragmatique mais Anticipations du succès:    « Ça va marcher! »

Productions de César et Roméo a x 10  2  a Validation empirique Pas d’examen des propriétés de la chaîne Essai avec 962: expérience cruciale Un élève propose 99999999999: César mentionne qu’à la calculatrice, ça ne fonctionne pas mais que sur papier ça marcherait! Il réalise que zéro ne fonctionne pas et le rejette du domaine de validité. Roméo cherche une procédure qui permettra d’accepter le zéro: a+1x10 2  a-1 Recherche de généralité Dégagement conscient d’une procédure? Les validations restent pragmatiques Proposition d’un modèle-tests-ajustement du modèle Conviction Conscience des invariants? Pas de recherche explicite de causes? Conscience de la généralité mais c’est comme si leurs connaissances des propriétés de la multiplication ou de l’addition n’agissaient pas comme des connaissances utiles pour valider les procédures

Il est le seul à envisager explicitement des conditions nécessaires Production de David En réaction à la proposition d’Ulysse a+(n’importe quoi)-a: « Tu peux pas faire au hasard ! » « Moi je te jure que ça va pas être bon. » David cherche à contrôler les opérations et trouve une expression qu’il sait triviale mais dont il est convaincu de la validité a priori. « C’est obligé que ce soit dur? » a-a+a Il réalisera qu’il ne répond pas à la consigne. Lorsque l’enseignante tente de les faire réfléchir sur les opérations, il envisage la nécessité d’avoir un nombre pair. Il est le seul à envisager explicitement des conditions nécessaires Possiblement nécessaires

Validation Processus de validation Argument de validation Raisonnement dont la finalité est de s’assurer de la validité d’une proposition et éventuellement de produire une explication (Balacheff, 1988) Argument de validation Moyens utilisés pour faire accepter ce résultat, cet énoncé ou cette procédure comme vrai ou plausible