Klein

CONQUÊTE ALGÉBRIQUE DES IDÉAUX Le mode d’objectivation des éléments «à l’infini» n’a pas d’équivalent en «géométrie analytique» «[Projective] geometry is a part of descriptive geometry, and projective geometry is all geometry» Arthur Cayley. La géométrie cartésienne se devait d'apprivoiser ce domaine d'idéalité. Comment pouvait-elle s'y prendre? «The last vestiges of dependence on ordinary geometry were removed in 1871, when Felix Klein provided an algebraic foundation for projective geometry in terms of "homogeneous coordinates“ » Coxeter.-

Une alliée: le modèle héliocentrique L’assaut vers l’infini. (x, y, z)  (x', y', z')

(x, y, z)  (x', y', z') (x, y, z)  (x', y', z')  =  = (Z33/)* Classe  des points (x, y, z)  (x', y', z') Classe  des lignes (x, y, z)  (x', y', z') .  =  = (Z33/)*

L'incidence. Pythagore donne, pour un représentant (x1, x2, x3) du rayon x et un représentant (X1, X2, X3) de la normale X : (x12 + x22 + x32)+ (X12 + X22 + X32) = (X1 - x1)2 + (X2 - x2)2 + (X3 -x3)2 c'est-à-dire x1X1 + x2X2 + x3X3 = 0 ou en terme de produit scalaire x  X = 0. Droite par 2 points le produit vectoriel a  b.

Diffusion des «coordonnées» Conquête algébrique des idéaux

Brainstorming Translation: x  x+k Dilatation: x  kx Transformation linéaire f : x  M x (M: matrice de rang 3) Chercher la matrice de la courbe de Peano….

Monge

Le coup de la transposition formelle! La géométrie projective cartésienne est définie sur  =  = (Z33/)* par la relation d'incidence x  X = 0 On opère la substitution Z3= { 0, 1, 2 }  K={ 0, 1, 2, i, 1+i, 2+i, 2i, 1+2i, 2+2i } On est propulsé dans un nouvel univers: =  = (K3/ )* « To Steiner, imaginary quantities in geometry were ghosts, which made their effect felt in some way from a higher world without our being able to gain a clear notion of their existence ». F. Klein Vengeance des cartésiens … !

Le réflexe de la représentation Le «plan» de Gauss est abaissé au rôle d’axe Représentation incomplète! Il faudrait imaginer une "bordure extra territoriale» pour représenter les 10 points à l’infini.

Sous géométrie réelle

Comment les droites anciennes se prolongent-elles dans le domaine imaginaire?

Formes imprévisibles

Les droites "imaginaires" ne percent la sous géométrie réelle qu'en un seul point

La minorisation des anciens! Les éléments euclidiens sont 13 réels moyés dans une mer de 91 éléments dont 78 « imaginaires». Une droite porte désormais 10 points Un point porte 10 droites Une droite imaginaire porte 9 points imaginaires mais ne concède de place qu’à un seul réel Un point imaginaire porte 9 droites imaginaires et une seule réelle. Une droite réelle est envahie par 6 imaginaires. Un point réel est traversé par 6 droites imaginaires. Etc etc.

Nostalgie des représentations polyédriques Les géométries d’ordre 2 et 3 avaient pu être représentées par des polyèdres (tétraèdre et cube). Peut-on imaginer une représentation polyédrique pour la géométrie de Monge? Les précédentes comportaient 7 et 13 points respectivement. La géométrie de Monge en a 91 C’est-à-dire 713 = 91 !

Voici une espèce de «produit direct» des deux géométries antérieures: Modèle polyédrique Voici une espèce de «produit direct» des deux géométries antérieures: C’est une représentation «euclidienne», à la grecque ! pas de «produit scalaire» D’où le défi de créer implicitement la structure projective.

Exploitation du polyèdre? Dividendes à l’horizon? Opérer sur ce polyèdre par symétrie, réflexion équatoriale, rotations, … ne s'avère pas très productif Considérons plutôt le développement du polyèdre Est-il possible, d'extraire une collection de quatre-vingt-onze faisceaux constitués chacun de 10 points satisfaisant l'axiome principal de la charte projective c'est-à-dire de s'intercepter mutuellement une seule fois?

Première prescription de la charte projective: Intersection en 1 seul point

Souvenir des mini-géométries antérieures Les dimensions, 7 et 13, du tore rappellent les «sélecteurs» des deux géométries antérieures, déterminés par les schémas {0, 1, 3} et {0, 1, 3, 9 }. Ce qui nous entraîne dans la prospection singulière suivante …

Exploitation de {0, 1, 3, 9} Évocation de {0, 1, 3} Horizontalement Évocation de {0, 1, 3} Obliquement Seulement 6 points ! …

Nous n’en sommes encore qu’à 8 il en faut 10! Symétrisation On conçoit qu'une symétrie dans le plan équatorial du polyèdre pourrait être une colinéation Nous n’en sommes encore qu’à 8 il en faut 10!

Prolongeons la série oblique de {0, 1, 3} à {0, 1, 3, 9}

… captation de ces 10 points à l’écran Miracle ???

Incrédule! Test … La finitude fait qu'une vérification directe est possible et suffit Ce schéma peut être translaté en 91 positions Les 91 faisceaux, dérivés du schéma, ne se recouperont qu’une et une seule fois. La charte est réalisée!

Peano

Tir à l’arc. Translations dans le champ: Portée verticale: 7 Portée horizontale: 13 L’arc d’Ulysse: traverse tous les 91 points!

Schéma de génération: ordre d’occurrence  = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81} Transition vers une «géométrie du disque»

Géométrie de la table ronde Hommage à Peano Relation d’incidence dans ==[0,91] x + X   où  est le schéma de sélection:  = {0, 1, 3, 9, 27, 49, 56, 61, 77, 81}

La géométrie du disque est-elle équivalente à (K3/)* ? Comment savoir? En jumelant le disque avec une courbe de Peano dans (K3/)* Prochain défi: Obtenir une orbite universelle dans (K3/)*

N.B. Porter la dernière diapo dans S12

Orbite universelle dans (K3/)* On découvre que les droites de (K3/)* suivent le même schéma générateur