Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux Ecoulement à surface libre sur plan incliné M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, 1 1

Etude de stabilité S.Millet et.al (2007)

Plan Stabilité d’écoulement de fluide newtonien en canal plan (Squire H.B 1933) Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin) Stabilité d’écoulement de fluide purement visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007) Stabilité d’écoulement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné

Equation d’Orr-Sommerfeld 3 Equations de Navier-Stokes + continuité [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u’,p’] (x,y,z,t) => 4 Equations aux perturbations On élimine p’, u’ et w’ => 1 équation d’ordre 4 en v’ Perturbations périodiques : CL en canal plan : non glissement aux parois CL à surface libre : non glissement au fond + contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique

Fluide newtonien en canal plan

Fluide newtonien en canal plan Squire H.B. 1933 Perturbations (Orr-Sommerfeld) : Relations de Squire : Théorème de Squire : Pour étudier les instabilités 3D, il suffit d’étudier les instabilités 2D. Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

Fluide newtonien sur plan incliné

Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. Champ de base : Nombres adimensionnels :

Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. Eq d’Orr-Sommerfeld identique CL différentes :

Fluide purement visqueux en canal plan

Fluide purement visqueux en canal plan Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée 3D Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux Les relations de Squire sont-elles applicables ? Terme en Dw : pas de relation de Squire ! Introduire une équation supplémentaire ? Nouar et.al (2007) : Etude numérique 3D  En forçant θ=η... La viscosité perturbée n’intervient qu’au niveau des contraintes de cisaillement dans le plan (x,y)

Fluide purement visqueux sur plan incliné

Fluide purement visqueux sur plan incliné Champ de base Avec Nombres adimensionnels :

Fluide purement visqueux sur plan incliné Eq d’Orr-Sommerfeld généralisée CLs avec des perturbations 3D :

Merci de votre attention

Équations aux perturbations : Interprétation de q : où A propos du modèle mathématique: Voici l’équation d’Orr Sommerfeld classique régissant l’évolution d’une perturbation introduite dans le système pour les fluides newtoniens Et ce sont les termes supplémentaires qui apparaissent quand on introduit le modèle de Carreau. Pour les conditions limites, on utilise une condition classiques de non glissement sur la paroi et la continuité des contraintes au niveau de chacune des 2 interfaces ainsi que la continuité des vitesses au niveau de l’interface entre les couches. 19/40 19

Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al Modèle de Carreau Perturbation de contrainte Equations aux perturbations 3D

Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al 2007 Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?

Seuil de stabilité (approche Orr-Sommerfeld) 22 Seuils de stabilité selon l’angle d’inclinaison (Millet et al. 2007) L = 0 dans le cas d’un fluide newtonien L = 0.5 dans le cas d’un fluide de Carreau et I = 10-3, n = 0.5. Recr The first approach is an analytical study of the stability of the flow with respect to long waves. It corresponds to a wave number in the vicinity of zero. In addition we suppose that the fluid is weakly non–Newtonian. This method gives the following results concerning the stability criteria and the phase velocity of these unstable waves. It is consistent with previous Newtonian results taking L= 0 and makes appear the shear –thinning effect: The critical Reynolds number is decreasing, whereas the phase velocity is increasing. Angle d’inclinaison 22

Prise en compte de la perturbation de viscosité. 1 h On peut écrire : avec : Pente de la loi constitutive en échelles log 23