Diffusion magnétique des neutrons Moments magnétiques et moments cinétiques sont reliés par un rapport gyromagnétique Neutron : 𝐌 𝑁 =−𝛾 2 𝜇 𝑁 𝝈 Electron : 𝐌 𝑆 =−𝑔 𝜇 𝐵 𝑺 𝝈, 𝑺: opérateurs de spin valeurs propres ±𝟏/𝟐 Magnéton de Bohr 𝜇 𝐵 = 𝑒ℏ 2𝑚 =9,274 10 −24 𝐽 𝑇 −1 𝜇 𝑁 = 𝑒ℏ 2𝑀 = 𝜇 𝐵 /1836 Magnéton nucléaire 𝛾=1,913 et 𝒈=𝟐 , facteur de Landé

Processus d’interaction Electron Neutron incident Noyau Interaction nucléaire forte : b dépend du spin du noyau  Incohérent de spin Interaction électromagnétique dipôle-dipôle Négligeable avec le noyau Forte avec le moment atomique (orbital, spin)

Processus de diffusion Etat de spin du neutron caractérisé par Sz ou + − Quatre processus de diffusion magnétique sont possible « non Spin-flip » « Spin-flip »

Longueur de diffusion : Incohérent de spin Longueur de diffusion : 𝑏= 𝑏 𝑁 +2𝐵𝝈∙𝑰 Noyau I : spin du noyau 2s : opérateur de Pauli 2 𝜎 𝑥 + = − 2 𝜎 𝑦 + = 𝑖 − 2 𝜎 𝑧 + = − 2 𝜎 𝑥 − = + 2 𝜎 𝑦 − = −𝑖 + 2 𝜎 𝑧 − =− + + 𝑏 + = 𝑏 𝑁 +𝐵 𝐼 𝑧 − 𝑏 − = 𝑏 𝑁 −𝐵 𝐼 𝑧 + 𝑏 − = 𝐵 (𝐼 𝑥 −𝑖 𝐼 𝑦 ) − 𝑏 + = 𝐵 (𝐼 𝑥 +𝑖 𝐼 𝑦 ) Éléments de matrice : 𝑏= 𝑏 𝑁 +2𝐵( 𝜎 𝑥 𝐼 𝑥 + 𝜎 𝑦 𝐼 𝑦 + 𝜎 𝑧 𝐼 𝑧 )

Section efficace cohérente Incohérent Section efficace cohérente Moyenne spatiale et statistique de <b> Pas d’ordre des spins nucléaires <I>spin=0 + 𝑏 + = 𝑏 𝑁 𝑖𝑠𝑜 − 𝑏 − = 𝑏 𝑁 𝑖𝑠𝑜 + 𝑏 − =0 − 𝑏 + =0 Seule la moyenne sur les isotopes compte Section efficace incohérente Proportionnelle à <b 2>-<b>2 𝑏 2 − 𝑏 2 = 𝑏 𝑁 2 − 𝑏 𝑁 2 + 𝐵 2 𝐼(𝐼+1) Incohérent isotopique : Ni (13.4 barn/4 barn) Incohérent de spin : H (81 barn/2 barn)

: états finaux et initiaux Electron Section efficace 𝑑 2 𝜎 𝑑Ω𝑑𝐸 = 𝑘 𝑑 𝑘 𝑖 𝑌𝑀 2𝜋 ℏ 2 2 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑃 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑓, 𝜎 𝑓 𝜓 𝑓 𝜎 𝑓 𝐻 𝜓 𝑖 𝜎 𝑓 2 𝛿( 𝐸 𝑖 − 𝐸 𝑓 +ℏ𝜔) : états finaux et initiaux du spin neutronique : probabilité que la cible soit dans l’état le spin du neutron Calcul de :

Hamiltonien d’interaction magnétique Atome en position 𝒓𝑛 Champ 𝑩 créée par l’électron de vitesse 𝒗𝑒 𝑩= 𝜇 0 4𝜋 𝑹𝒐𝒕 𝑴 𝑆 ∧𝑹 𝑅 3 − 𝑒 𝒗 𝑒 ∧𝑹 𝑅 3 R Électron Neutron incident Noyau 𝐻=− 𝑴 𝑁 ∙𝑩

Longueur de diffusion magnétique 𝑑𝜎 𝑑Ω = 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑃 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑓, 𝜎 𝑓 𝜓 𝑓 𝜎 𝑓 𝑏 𝑁 + 𝑏 𝑚 𝜓 𝑖 𝜎 𝑓 2 𝑏 𝑚 =2𝝈∙𝒂 Longueur de diffusion magnétique 𝒂= 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑴 𝑆⊥ 𝜇 𝐵 𝛾 𝑟 𝑒 2 =2,69 𝑓𝑚 Même ordre de grandeur que la longueur de diffusion nucléaire

Facteur de forme magnétique TF de la densité d’électrons non-appariés Même type de variation que f(q) Ni

sur le plan orthogonal à q Moment magnétique M MS : projection de MS sur le plan orthogonal à q q MS MS

Incohérent isotopique En résumé… 𝒃= 𝑏 𝑁𝑖 𝑖 +𝛥 𝑏 𝑖 +2𝐵𝝈∙𝑰+ 𝛾 𝑟 𝑒 2 2𝝈∙ 𝑴 𝑆⊥ 𝜇 𝐵 𝜌 𝑛 (𝒒) Diffusion nucléaire Diffusion magnétique Incohérent isotopique Incohérent de spin Interférences

Application à l’étude des structures magnétiques Ordre magnétique  ordre nucléaire (en général km  kn) sauf ferromagnétisme km = kn=0 Ferromagnétique (Fe,Ni,Co) Ferrimagnétique (Fe3O4) Hélicoïdal (Terres rares) Antiferromagnétique (MnO,NiO,Cr)

Si les neutrons ne sont pas polarisés Section efficace 𝑑𝜎 𝑑Ω = 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑃 𝑖, 𝜎 𝑖 𝑓, 𝜎 𝑓 𝜓 𝑓 𝜎 𝑓 𝑏 𝑁 + 𝑏 𝑚 𝜓 𝑖 𝜎 𝑓 2 Si les neutrons ne sont pas polarisés 𝑑𝜎 𝑑𝛺 = 1 2 + 𝑏 + 2 + − 𝑏 + 2 + + 𝑏 − 2 + − 𝑏 − 2 + 𝑏 + = 𝑏 𝑁 + 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑀 ⊥𝑧 𝜇 𝐵 − 𝑏 − = 𝑏 𝑁 − 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑀 ⊥𝑧 𝜇 𝐵 + 𝑏 − = 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑀 ⊥𝑥 −𝑖 𝑀 ⊥𝑦 𝜇 𝐵 − 𝑏 + = 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑀 ⊥𝑥 +𝑖 𝑀 ⊥𝑦 𝜇 𝐵 Nucléaire : 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑵 ∝ 𝑏 𝑁 2 Magnétique : 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑴 ∝ 𝑀 ⊥ 2

Ferromagnétisme I ~ <M>2 Diffraction magnétique Diffraction rn(q) F(q) Diffraction nucléaire Polarisation de neutrons : Réflexion de Bragg sur un composé (Co0.92Fe0.08) tel que M z − 𝑏 − = 𝑏 𝑁 − 𝜌 𝑛 (𝒒) 𝛾 𝑟 𝑒 2 𝑀 𝜇 𝐵 et q

Ordre magnétique kc (1/2 0 0) Diffraction magnétique Antiferromagnétisme Ordre magnétique kc (1/2 0 0) Facteur de structure F(q) de la Maille magnétique 2a Diffraction magnétique h impair Diffraction nucléaire h pairs ±kc

Groupe d’espace : P42/mnm Clifford Shull Bertram Brockhouse Nobel physique1994 Exemple MnF2 Groupe d’espace : P42/mnm