Chapitre 8: Lentilles minces 8.1 Définitions Les lentilles minces sont des systèmes optiques constitués par deux dioptres sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan. Les deux faces de la lentille sont généralement plongées dans le même milieu, en général l’air (n = 1). Les lentilles minces sont des lentilles dont l’épaisseur est très faible. Cette épaisseur sera négligée et les sommets des deux dioptres confondus. Les lentilles sont constituées par un verre d’indice de réfraction n.

8.2 Exemples de lentilles minces Convergentes Biconvexe Plan Ménisque convexe convergent Divergentes Biconcave Plan Ménisque concave divergent

8.3 Rappel sur les associations de systèmes centrés Dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison implique que pour tous les dioptres, un objet possède une image conjuguée. On pourra donc toujours propager l’image d’un objet dans un système de dioptres successifs en prenant pour objet du dioptre suivant l’image du dioptre précédent. C’est la technique de l’image(objet) intermédiaire. Le système optique est complètement défini si l’on connaît pour chaque dioptre: la position du centre C, la position du sommet S, les indices optiques n et n’. A B A’ B’

La méthode de propagation d’une image dans une succession de dioptres est la suivante: Détermination de la position de l’objet A1B1 par rapport au dioptre 1 Calcul de la position de l’image A’1B’1 par rapport au dioptre 1 par la relation de conjugaison du dioptre Détermination de la position du nouvel objet A’1B’1 =A2B2 par rapport au dioptre 2 en utilisant la relation S2A2 = S2A’1 = S2S1 + S1A’1 Calcul de la nouvelle image Etc… A B A’ B’

le grandissement total est le produit des grandissements. Le grandissement transversal s’écrit : où A’B’ est l’image finale et AB l’objet initial. Il vient donc finalement: Pour N dioptres, c’est-à-dire que : le grandissement total est le produit des grandissements.

8.4 Relation de conjugaison On considère une lentille mince formée par les deux dioptres (1) et (2), de sommet O. On obtient donc les deux relations suivantes, appliquées aux deux dioptres: En sommant ces deux relations car le terme contenant l’image A1 par le dioptre (1), objet pour le dioptre (2) est commun; On écrit encore, avec les distances objet et image et :

8.5 Distances focales La distance focale image notée f’ est obtenue en déterminant la position du foyer image (p tend vers l’infini): Le calcul montre de la même façon que la distance focale objet, notée f est (p’ tend vers l’infini): c’est-à-dire que f = -f’.

Autre forme de la Relation de conjugaison

8.6 Grandissement transversal Le grandissement s’écrit pour deux dioptres sphériques associés comme un produit: où l’indice 1 représente l’image/objet intermédiaire. Cependant, nous pouvons écrire, pour chacun des dioptres sphériques: Finalement, le grandissement total est:

Si la lentille est convergente, alors C > 0, 8.7 Vergence d’une lentille La vergence d’une lentille est la quantité, positive ou négative, suivante: La vergence est exprimée en dioptries. Si la lentille est convergente, alors C > 0, Si la lentille est divergente, alors C < 0.

8.9 Construction des rayons optiques La construction des rayons optiques est basée sur 3 rayons optiques particuliers: 1 Le rayon issu de l’objet passant par le centre optique O qui n’est pas dévié 2 Le rayon issu de l’objet, parallèle à l’axe optique, et passant par le foyer image 3 Le rayon issu de l’objet, passant par le foyer objet, émergent parallèle à l’axe optique

Ces constructions montrent que les lentilles minces sont aplanétiques.

Tout faisceau issu du plan focal objet émerge en faisceau parallèle. Tout faisceau parallèle passe par un point du plan focal image.

8.10 Formule de Newton On construit tout d’abord l’image A’B’ d’un objet AB à travers une lentille mince: Le grandissement peut donc s’écrire, en utilisant les triangles ABF et FOJ: et de même, avec les triangles IF’O et F’A’B’: En égalant ces deux expressions, finalement: En introduisant les distances et I J

8.11 La loupe La loupe est l’instrument oculaire le plus simple, constitué par une seule lentille mince de faible distance focale et généralement biconvexe. La loupe sert à obtenir d’un objet réel une image virtuelle agrandie. F F’ O image objet

8.12 Lentilles accolées L’association de plusieurs lentilles minces accolées de même axe optique est équivalente à une seule lentille mince de même centre optique. La vergence totale C est la somme des vergences: Le grandissement g est le produit des grandissements.

Applications à l’associations de deux lentilles minces de même centre optique Pour les relations de conjugaison de chacune des lentilles, appelées encore relations de Descartes, on a: en réalisant la somme de ces deux relations, on obtient: en introduisant de plus la distance focale image f’ puisque l’on reconnaît l’expression d’une relation de conjugaison pour les points A et A’. Cette dernière relation s’écrit bien C = C1 + C2 en utilisant la définition de la vergence.

d’où l’équivalence suivante, avec les centres O1, O2 et O confondus: Pour le grandissement transversal g, il vient simplement, comme précédemment pour une association de dioptres: d’où l’équivalence suivante, avec les centres O1, O2 et O confondus: O1 F1 F2 F’1 F’2 O2 O F F’