Gestion de l’inventaire Professeur Amar Ramudhin, ing. Ph.D

Rôle de l’inventaires Pourquoi avoir de l’inventaire? Incertitude concernant la demande; Incertitude concernant le système de distribution Délais de livraison Incertitude quant au système de production; Délais de production Capacité et fiabilité du système Incertitude dans l’approvisionnement; Délais, capacité, disponibilité Compromis temps de montage vs coût d’inventaire;

Types d’inventaires Stock en transit (pipeline) Stock en-cours de production, en attente entre deux centres de production, en transit ou en mouvement Loi de Little: Encours = Taux de production *délais de production Stock de roulement (cycle stock) L’inventaire moyen qui résulte d’une production ou approvisionnement en lots Économie d’échelle: les lots sont généralement plus grand que la demande Stock de sécurité L’inventaire pour palier aux incertitudes de la demande Cet inventaire est en plus du niveau requis de la planification normale des prévisions Stock découlant de la saisonnalité Quand la demande d’un produit varie dans le temps, il est parfois souhaitable d’accumuler l’inventaire en période creuse pour les périodes de pointes

Classification des Systèmes d’inventaires Systèmes d’inventaire pures ou classiques Applicable aux items procurés d’un autre partenaire qui sont gérés individuellement Pour chaque item on détermine: Un point de commande La quantité à commander Systèmes d’inventaire avec production Les items sont produits à l’interne et donc sont en compétition pour la capacité et les ressources Systèmes d’inventaire avec production et distribution Considère la production et les points de stockage dans le réseau de distribution (multi-échelon) Plus complexe à analyser

Les principaux coûts Minimise la somme des coûts: Coûts d’acquisition de produits coût de passation de commande (fixe par commande) Coût d’administration, de transport, de manutention et d’inspection à l’arrivée de la commande coût d’achat (varie en fonction de la quantité) Coût de l’item Coûts associés à l’existence d’inventaire Proportionnel au stock de roulement moyen Inclus les coûts de stockage et de manutention, le financement de l’inventaire, les assurances, les risques de bris etc Coûts associés aux ruptures de stock Commande prioritaire pour satisfaire à la demande Coûts associés à une commande en arriéré Coûts associés à une commande perdue

Modèle Classique: Lot économique Hypothèse de base: Demande constante et continue D: taux de la demande annulle (nbre par an) Processus stable dans le temps Pas de délais d’approvisionnement Le lot commandé est reçu en totalité Les coûts de varient pas dans le temps Pas de ruptures de stocks Pas de rabais sur la quantité

Modèle Classique: Lot économique D: Demande Annuelle S: Coût fixe de passation d’une commande C: Coût d’achat de l’item h: Côut d’inventaire par an par unité en % du côut unitaire H: Coût d’inventaire par an par item: H=hC Q: Qté commandé T: Intervalle en deux commande CT: Coût Total inventaire Q D T = Q/D t CT = Côut annuel d’achat + coût annuel de passation de commande + coût annuel d’inventaire de roulement

Modèle Classique: Lot économique CT = Côut annuel d’achat+ coût annuel de passation de commande + coût annuel d’inventaire de roulement CT = CD + S(nbre de commande) + H(inventaire moyen) Nbre de commande par an: D/Q Inventaire moyen: (surface sous la courbe d’inventaire / temps): Q/2 CT = CD + S(D/Q) + hC(Q/2) - SD/Q2 + hC/2 = 0 Pour trouver Q* poser d(CT)/dQ = 0 et solutionner pour Q* Cette formule est aussi connue sous le nom de ‘modèle de Wilson’

Considération pour les délais de livraison Supposons que le délais de livraison associé à une commande est de L où L<T; Donc on doit passer la commande: au moins L temps avant la fin du cycle; Ou lorsque le niveau d’inventaire atteint L*D unités inventaire Q D D*L T t L

Courbes des Coûts TC: Coût total Coût d’inventaire Coût de passation de commande Coût d’achat

Example 10.1 Donnée de Base: Demande, D = 12,000 ordinateurs par an Donc d = 1000 ordinateurs/mois Coût unitaire, C = $500 Coût d’inventaire (en % du coût unitaire), h = 0.2 Coût fixe, S = $4,000/commande Q* = Sqrt[(2)(12000)(4000)/(0.2)(500)] = 980 Inventaire de roulement = Q/2 = 490 Temps moyen d’un produit en inventaire (flowtime) = Q/2d = 980/(2)(1000) = 0.49 mois Intervalle entre deux commande, T = 0.98 Supposons un délais de livraison de 2 semaines L=2/52 = 0.038 Niveau d’inventaire lors de la commande: 12000*0.038 = 456 Notes:

Example 10.1 (ctd) Coût annuel d’inventaire et de passation de commande = = (12000/980)(4000) + (980/2)(0.2)(500) = $97,980 Supposons que le lot est réduit à Q=200, = (12000/200)(4000) + (200/2)(0.2)(500) = $250,000 Donc il est important de réduire les coûts fixes de passation de commande si on veut réduire le coût total

Example 10.2 Si la taille du lot est réduit à = Q* = 200 units, Quelle devrait être la valeur de S? D = 12000 units C = $500 h = 0.2 De la formule du lot économique S: S = [hC(Q*)2]/2D = [(0.2)(500)(200)2]/(2)(12000) = $166.67 Afin de réduire la taille du lot d’un facteur k, le coût fixe doit être réduit d’un facteur k2

Modèle avec commande en arriéré (backlog) Soit b le coût annuel d’une commande arriéré Soit B la qté des commande arriéré Niveaux d’inventaire: Max : Q-B Min : -B Ti = (Q-B)/D Tb = B/D T = Q/D Niveau moyen d’inventaire ti(Q-B)/2T = (Q-B)2/2Q Niveau moyean de commande en arriéré tbB/2T = B2/(2Q) inventaire Q-B Q tb B ti temps T

Modèle avec commande en arriéré (backlog) TC = CD + S(D/Q) + hC(Q-B)2/(2Q) + bB2/(2Q) Pour trouver les valeurs de Q* et B* on pose: d(TC)/dQ = 0 ; d(TC)/dB = 0;

Agrégation de plusieurs produits dans une commande Les modèles précédent assument que les items sont commandés séparément Deux modèles d’agrégation: 1. Les lots d’une famille de produits sont commandés et livrés en même temps 2. Les lots d’une famille de produits sont commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de produits de la famille Ces modèles permettent de prendre avantage du transport et d’autres activités en commun pour le produits d’une même famille

Lots commandés et livrés en même temps Famille avec m produits (i=1,…m) S0 – portion des coûts fixe commune à la famille de produits Si – portion du coût fixe propre au produit i Di – Demande du produit i Ci – Coût d’achat du produit i À chaque commande, on commande pour tous les produits Pas de pénurie possible Écrire CT en fonction de n = D/Q

Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de produit Famille avec m produits (i=1,…m) À chaque fois qu’on commande, on commande un sous-ensemble m’ Procédure itérative: Étape 1: Calculer la fréquence de commande si chaque produit i était commandé séparément avec un coût fixe de S0+Si

Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de produit Étape 2: On assume maintenant que le produit i* sera commandé à chaque commande Recalculer la fréquence des commande des autres produits en assumant seulement un coût fixe de Si

Étape 4: la fréquence de commande du produit i est ni/mi Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de produit Étape 3: Recalculer la fréquence n de commande du produit le plus commandé Étape 4: la fréquence de commande du produit i est ni/mi On assume que le coût par commande est S0 + Si/mi

Exemple 10.3: Produits commandés indépendamment Total cost = $155,140

Agrégation: Tous les produits sont commandés à chaque commande S* = S + sL + sM + sH = 4000+1000+1000+1000 = $7000 n* = Sqrt[(DLhCL+ DMhCM+ DHhCH)/2S*] = 9.75 QL = DL/n* = 12000/9.75 = 1230 QM = DM/n* = 1200/9.75 = 123 QH = DH/n* = 120/9.75 = 12.3 Inventaire de roulement = Q/2 Temps moyen d’un produit en inventaire = (Q/2)/(demande hebdomadaire)

Exemple 104: Tous les produits sont commandés à chaque commande Annual order cost = 9.75 × $7,000 = $68,250 Annual total cost = $136,528

Exemple 10.5: Seulement un sous-ensemble des produits est commandé à chaque commande Annual order cost = 10.8(4000)+5.4(1000)+2.16(1000) = $61,560 Annual total cost = $131,004

Leçons de l’Agrégation Permet aux firmes de baisser la taille des lots sans augmentation des coûts Agrégation complète: efficace lorsque les coûts fixe relatifs aux produits sont faibles Agrégation sélective: efficace lorsque les coûts fixe relatifs aux produits sont grands

Modèle avec rabais sur les quantités Deux modèles: Rabais sur le volume 1<= q <100: $100 100<= q <500: $80 500<= q : $70 Si q = 275, le coût unitaire est de $80 Rabais marginal sur le volume Premier 99: $100 Les 499 produits suivants: $80 Les q-499 produits suivants: $70 Donc si q = 275, le coût total est de 100*99+(275-99)*80

Rabais sur le volume Le format de prix contient des points de discontinuité q0, q1, q2,…,qr où q0=0; qi≤Ci <qi+1 La structure de coût est telle que: C0≥ C1 ≥ … ≥ Cr CTi = CiD + S(D/Qi) + hCi(Q/2) La qté optimale Q* va être: Soit à l’intérieure d’une intervalle Soit à un point extrême qi, i=1,…,r La courbe CT à la forme suivante C0 C1 C2 Q2 q0 q1 q2 q3

Rabais sur le volume Étape 1: Calculer la valeur optimale Q*i pour chaque coût Ci: Premièrement calculer Qi en utilisant la formule du lot économique: Qi = √(2SD/hCi) Q*i est donné par la formule suivante: Étape 2: Évaluer CTi pour chaque valeur de Q*i La valeur optimale Q* correspond au minimum des coûts totaux Voir exemple 10.6

Exemple 10.6 Rabais sur le Volume Qte Commandée Prix Unitaire 0-5000 $3.00 5001-10000 $2.96 Over 10000 $2.92 q0 = 0, q1 = 5000, q2 = 10000 C0 = $3.00, C1 = $2.96, C2 = $2.92 D = 120000 units/year, S = $100/lot, h = 0.2

Exemple 10.6: Rabais sur le Volume Cost/Unit Total Material Cost $3 $2.96 $2.92 Notes: 5,000 10,000 5,000 10,000 Order Quantity Order Quantity

Rabais marginal sur le volume Soit Vi le coût d’achat de qi produits, où qi est une valeur limite: Vi = C0(q1-q0)+C1(q2-q1)+…+Ci-1(qi-qi-1) Le coût d’achat d’une qté Q telle que, qi ≤ Q ≤ qi+1 est Vi+Ci(Q-qi) Le coût annuel d’achat est: [Vi+Ci(Q-qi)](D/Q)

Rabais marginal sur le volume Le coût de commande est: (D/Q)S Le coût d’inventaire est: [Vi+Ci(Q-qi)]h/2 Le coût total annuel est CTi; (D/Q)S + [Vi+Ci(Q-qi)]h/2 + [Vi+Ci(Q-qi)](D/Q)

Forme de la courbe du coût total pour rabais marginale qo q1 q2 CT1 CT2 CT3 La courbe a un minimum unique Donc Q* ne peut être égale à qi

Rabais marginal sur le volume En posant d(CTi)/dQ = 0 on a: Étape 1: Calculer Q*i pour chaque Ci; Étape 2: Si qi ≤ Q*i ≤ qi+1 alors calculer CTi Étape 3: Si Q*i < qi ou Q*i > qi alors poser Q*i = qi ou Q*i = qi+1 selon le cas Étape 4: Q* est égale à la valeur de Qi qui minimise CTi Voir exemple 10.7 p 270

Modèle de lot économique de Production P: taux de production par an (P>D) Les items sont produits au lieu d’être achetés ts: temps pour produire Q items T = Q/D ts = Q/P P-D T ts I I=ts(P-D)

Modèle de lot de Production Multi-produits avec cycle commun Soit un centre de production qui fabrique plusieurs m produits sur une base cyclique Chaque item est fabriqué une fois dans le cycle Le coût de changement pour un produit est Si le temps de changement est ts Soit N le nombre de cycle par an

Inventaire Multi-Échelon On assume une capacité de production infinie La figure illustre le pire cas: Le lot de production est terminé juste après la livraison