Autres exemples de modèles Guy Gauthier Juin 2010

Dynamique de la population Si une population possède un potentiel biotique définit par r, alors la population N obéit à cette loi: r est la fécondité maximale dont une espèce peut faire preuve en l’absence de facteurs limitant.

Dynamique de la population La solution de cette équation est: Il n’y a pas de mortalité, seulement des naissances. Pas vraiment réaliste…

Dynamique de la population Redéfinissons r: b = taux de naissance; m = taux de mortalité. Reste que le résultat est une exponentielle. Modèle de Malthus (1798).

Facteur limitant En présence d’un facteur limitant (ex.: ressources alimentaires), le taux de mortalité augmente et le taux de natalité diminue. K = capacité limite du milieu. Verhulst (1838).

Modèle de Verhulst Équation de la courbe logistique: Points d’équilibre N = 0 N = K r=2 K=1000

Ajout de prédateurs Modèle de Lotka-Volterra. En l’absence d’interaction: Croissance exponentielle des proies (N) et extinction des prédateurs (P).

Modèle de Lotka-Volterra Si les proies interagissent avec les prédateurs: Habileté des proies à échapper aux prédateurs Habileté des prédateurs à attraper les proies

Modèle de Lotka-Volterra Points d’équilibres: Solution évidente, avec populations égales à 0. Autre solution:

Modèle de Lotka-Volterra Exemples: r1 = 3; r2 = 5; k1 = 1/100; k2 = 1/100;

Modèle de Lotka-Volterra Comparaison avec ce qui est observé dans la nature.

Dans l’espace d’état Point d’équilibre

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Introduction de la limite du milieu: Points d’équilibre: 1) N = P = 0; 2) N = r2/k2; P = (r1/k1)(1-r2/(Kk2))

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Stabilisation des populations:

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Réponse fonctionnelle du prédateur:

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Introduction du taux de prédation:

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Effet de ce taux de prédation:

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Introduction d’une réponse fonctionnelle du coté des proies:

Variantes du modèle de Lotka-Volterra Effet de cette fonction:

Équation de Lorentz Soit le système suivant: Modèle de convection atmosphérique.

Équation de Lorentz Simulation:

Comportement chaotique Simulation:

Deux conditions initiales proches …mènent à deux évolutions très différentes après quelques moments

Équation de Lorentz Modèle météorologique. A cette époque, on envisageait pouvoir faire des prévisions météorologiques à long terme.

Équation de Lorentz Cette équation montre l’aspect chaotique de l’évolution de la météo. Donc, prévisions à long terme impossibles. A court terme… Il suffit de regarder Météomédia et de voir que les prévisions ne sont pas très justes…

Double pendule inversé Position des masses

Double pendule inversé Énergie potentielle Énergie cinétique

Double pendule inversé Lagrangien

Double pendule inversé Ainsi, pour le premier angle D’où

Double pendule inversé Et, pour le deuxième angle D’où

Double pendule inversé Simulation

Double pendule inversé Ce système est sujet aussi à un phénomène chaotique.