1 Fusion de paraboles Rick Parent, Animatique Algorithmes et techniques. Vuibert, Paris, 2003, 530p. 1.
2 Construction Soient P 0, P 1, P 2, …, P N-1, les N points dune courbe dinterpolation, déterminons la portion de courbe passant par P i et P i+1 : Tracez une parabole Q(u), passant par P i-1, P i et P i+1 et respectant les contraintes Q(0) = P i-1, Q(½) = P i, Q(1) = P i+1 : Q(u) = (2 P i-1 – 4 P i + 2 P i+1 ) u 2 + (-3 P i P i - P i+1 ) u + P i-1 Tracez une parabole R(u), passant par P i, P i+1 et P i+2 et respectant les contraintes R(0) = P i, R(½) = P i+1, R(1) = P i+2 : R(u) = (2 P i – 4 P i P i+2 ) u 2 + (-3 P i + 4 P i+1 - P i+2 ) u + P i Note : Entre P i et P i+1, les 2 paraboles se chevauchent.
3 Construction (suite) Paramétrisez de nouveau cette zone dans [0, 1] : Q(v) = (½ P i-1 – P i + ½ P i+1 ) v 2 + (-½ P i-1 + ½ P i+1 ) v + P i R(v) = (½ P i – P i+1 + ½ P i+2 ) v 2 + (-3/2 P i + 2 P i+1 - ½ P i+2 ) v + P i Interpolation linéaire de Q et R : S(v)= ½ (Q(v) + R(v)) = (¼ P i-1 – ¼ P i – ¼ P i+1 + ¼ P i+2 ) v 2 + (-¼ P i-1 – ¾ P i + 5/4 P i+1 - ¼ P i+2 ) v + P i Exemple de fusion parabolique
4 Conditions aux extrémités On construit une parabole passant par P 0, P 1 et P 2 puis, on retient uniquement la portion entre P 0 et P 1. On construit une parabole passant par P N-3, P N-2 et P N-1 puis, on retient uniquement la portion entre P N-2 et P N-1. Restriction : Lhypothèse est faite que tous les points sont espacés de manière égale dans un espace paramétrique.