LES OBLIGATIONS et les o.a.t. Définition fonctionnement évaluation

OBLIGATIONS ET mathématiques Cotation et prix d'achat Calcul du Taux de Rendement (YTM) Analyse du Risque de Taux La Duration La Sensibilité ou Duration Modifiée La Convexité Références des Taux Obligataires TME et THE TMO TEC La vie des obligations en chiffres

Cotation et prix d'achat d'une obligation Les obligations sont cotées en pourcentage de leur valeur nominale. Outre les frais perçus par son intermédiaire, pour chaque obligation, l'acquéreur doit payer le prix calculé comme suit : Prix = (Valeur nominale x cotation) + valeur du coupon couru La valeur du coupon couru se calcule au moyen de la formule des intérêts simples : Cc = 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 ×𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 ×𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡 𝑑𝑒𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑢𝑝𝑜𝑛 36500 La détermination du cours trouve son point d'équilibre selon le mode de calcul de la diapositive suivante…

Formule pour calculer le prix coupon couru d'une obligation. Sur les marchés obligataires, les calculs se font en jours calendaires sur une année de 365 ou 366 jours. Pcc : Prix incluant le coupon couru 𝑛 : Nombre de coupons non détachés 𝑉𝑐 : Valeur de chaque coupon 𝐶𝑎𝑝 : Valeur nominale de l'obligation 𝑖 : Taux de rendement 𝑇𝑛 : Temps restant à courir 𝑇𝑒 : Temps restant à courir jusqu'au remboursement de l'obligation Le temps 𝑇𝑛 se calcule comme suit : Pour 𝑛 = 1 on calcule de nombre de jours à courir entre la date d'achat de l'obligation et la date de détachement du prochain coupon. Ce nombre de jours divisé par 365 donnera un nombre réel inférieur à 0. A partir de 𝑛 = 2 on ajoute 1 à 𝑛-1 jusqu'au 𝑛 final. P𝑐𝑐 = 𝑛=1 𝑛 𝑉𝑐 1+𝑖 𝑇𝑛 + 𝐶𝑎𝑝 1+𝑖 𝑇𝑒 Le prix coupon couru est la somme des valeurs actuelles des flux non échus.

Prix coupon couru d'une obligation : Exemple Sur les marchés obligataires, les calculs se font en jours calendaires sur une année de 365 ou 366 jours. Le temps 𝑇𝑛 se calcule comme suit : Pour 𝑛 = 1 on calcule de nombre de jours à courir entre la date d'achat de l'obligation et la date de détachement du prochain coupon. Ce nombre de jours divisé par 365 donnera un nombre réel inférieur à 0. A partir de 𝑛 = 2 on ajoute 1 à 𝑛-1 jusqu'au 𝑛 final.

Calcul du Taux de Rendement C'est le coupon couru à la date de règlement, et non à la date de la transaction, qui est considéré pour le calcul du prix de l'OAT ; de même, pour les OATi et OAT€i, c'est le coefficient d'indexation à la date de règlement qui est appliqué. Pour les Titres du Marché Libre qui sont admis aux opérations d’un dépositaire central, le règlement-livraison s’effectue de manière automatique trois jours après la négociation dans le système correspondant. Les transactions du Marché Libre sont compensées et garanties par LCH.Clearnet, dans les conditions et limites fixées par celles-ci. Depuis le 6 octobre 2014 sur la place de Paris, le délai de règlement-livraison est raccourci à 2 jours de bourse.

EXEMPLE : Carte D'identité d'une obligation Code ISIN Cours du 4/12/2015 Valeur nominale d'une obligation Coupons annuels Taux nominal Coupon couru Taux de rendement actuariel Réf : Boursorama.com RADIAN 6,05% 26/6/18 EUR

EXCEL : Calcul du prix et du rendement

Analyse du risque de taux La Duration La Duration Modifiée La Convexité

La Duration : Définition Duration : Durée de vie "moyenne" de l'obligation, la "moyenne" étant calculée avec la valeur actuelle des "cash flows" qui restent à courir à partir d'une date donnée. Pour une obligation "zéro coupon" la duration est égale au temps à courir jusqu'à son échéance. D'une manière générale, le temps qui passe diminue la valeur de la duration. Mais d'autres facteurs peuvent la faire ponctuellement augmenter : le taux d'intérêt, le spread de crédit, et également le mécanisme de détachement des coupons. La duration est en quelque sorte la durée qui sépare du "centre de gravité" des encaissements attendus.

La Duration : utilité Une obligation zéro-coupon a une duration égale à sa maturité résiduelle, car elle ne génère aucun flux avant son échéance finale. Plus la duration d’un titre est élevée, plus son prix est volatile et risqué. En effet : son prix réagit plus fortement à une variation des taux d’intérêt que celui d’une obligation avec une duration moins élevée. N.B. : La duration est un outil assez précis pour évaluer les variations de prix consécutives à des variations de taux faibles. Lorsque les variations sont plus fortes il est préférable de se fier à la duration modifiée et à la convexité (voir infra).

Formule de la Duration 𝐷= 𝑡=1 𝑛 𝑡× 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 𝑡=1 𝑛 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Formule dite de : Macaulay 𝐷 = Duration 𝐶 = Montant du flux, c.à.d. coupon et/ou nominal 𝑖 = Taux de rendement actuariel annuel 𝑡 =Temps à courir jusqu'à la date de paiement 𝑛 = Nombre total de flux à courir N.B. : 𝑡 : est exprimé en années pleines ou en fractions d'années. 𝑛 : est exprimé en nombre d'années x nombre de coupons par an. 𝐷= 𝑡=1 𝑛 𝑡× 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 𝑡=1 𝑛 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡

Calcul de la Duration Il suffit de construire un tableau comportant 5 colonnes, une première ligne avec la date du jour du calcul qui correspondra à 𝑡 = 0, suivie d'un nombre de lignes égal au nombre de flux à courir. Dates Temps à courir jusqu'à la prochaine date : 𝑡 Flux financier à venir pour chacune des dates : 𝐶 𝑡 Valeur actuelle de chaque flux : 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Valeur actuelle du flux multipliée par 𝑡 : 𝑡× 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Il suffira enfin de : Faire la somme de toutes les valeurs de la colonne 4 = T4. Faire la somme de toutes les valeurs de la colonne 5 = T5. La division de T5 / T4 est égale à la duration.

Excel et formule de Macaulay Rappel : Va= Vf ( 1 + t )n N.B. : La somme des valeurs actuelles est égale au prix de l'obligation

La Duration Modifiée ou Sensibilité La sensibilité S d’une obligation exprime la variation relative (en %) du prix P d’une obligation pour une variation i du taux d’intérêt. S = 𝐷 1+𝑖 La duration modifiée ou sensibilité : exprime la perte (le gain) en capital qui résulte de la hausse (la baisse) d'un point de base (0.01%) du taux de rendement actuariel: il s'agit de la sensibilité, multipliée par le prix de marché de l'obligation.

Convexité : Définition Le terme convexité décrit le fait que la courbe prix-taux d’une obligation n’est pas une ligne droite, mais une courbe. Cela signifie que la variation du prix suite à une variation donnée du taux de rendement sera d’une ampleur différente selon l’endroit auquel on se trouve sur la courbe. La convexité est d'autant plus élevée que : La durée de vie de l'obligation est longue, Le taux de coupon de l'obligation est élevé. Le calcul de la convexité permet d'ajuster le calcul de la duration en cas de variation très importante du taux de rendement d’une obligation. Plus le changement de taux de rendement est important, plus l’ajustement de convexité est élevé.

Convexité : Courbe d'évolution Cette courbe retrace l'évolution du prix d'une obligation en fonction de l'évolution de la duration modifiée (sensibilité), selon la formule de Macaulay. Il est aisé de vérifier qu'une variation à la baisse des taux du marché (-Δr) entraîne une hausse du prix de l'obligation plus importante que la perte liée à une hausse de taux identique (+Δr). Plus la convexité d’une obligation est forte, plus son prix évoluera lentement face à un changement de taux d’intérêt. Lorsque les taux d’intérêt augmentent, le prix de l’obligation baissera plus lentement avec une convexité élevée qu’avec une convexité faible.

Convexité : Formule 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡é= 𝑡=1 𝑛 𝑉𝑎𝐶𝑡 𝑥 𝑡 +(𝑉𝑎𝐶𝑡 𝑥 𝑡2) 𝑡=1 𝑛 𝑉𝑎𝐶𝑡 1+𝑌𝑇𝑀% 2 𝑉𝑎𝐶𝑡 = Valeur actuelle des flux restant à échoir le jour du calcul. 𝐶 = Montant du flux, c.à.d. coupon et/ou nominal. 𝑌𝑇𝑀 = Taux de rendement actuariel annuel de l'obligation. 𝑡 = Temps à courir jusqu'à la date de remboursement du capital. 𝑛 = Nombre total de flux restant à courir. N.B. : 𝑡 : est exprimé en années pleines ou en fractions d'années. 𝑛 : est exprimé en nombre d'années x nombre de coupons par an. YTM : en % (Yield To Maturity = taux de rendement actuariel.

Calcul de la Convexité Il suffira enfin de : Il suffit de construire un tableau comportant 7 colonnes, une première ligne avec la date du jour du calcul qui correspondra à 𝑡 = 0, suivie d'un nombre de lignes égal au nombre de flux à courir. Dates Temps à courir jusqu'à la prochaine date : 𝑡 Flux financier à venir pour chacune des dates : 𝐶 𝑡 Valeur actuelle de chaque flux : 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Valeur actuelle du flux multipliée par 𝑡 : 𝑡× 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Valeur actuelle du flux multipliée par 𝑡2 : 𝑡2 × 𝐶 𝑡 (1+𝑖) 𝑡 Somme des colonnes 5 et 6. Il suffira enfin de : Faire la somme de la colonne 7 ("G"). Faire la somme de la colonne 4 ("D") qui est égale aux prix de l'obligation. Diviser le total de "G" par ce prix. Nous obtenons le numérateur de la formule. Reste à diviser ce numérateur par le carré de 1 + i

Excel et convexité

Le Taux Moyen des Emprunts d'État. TME et THE Le Taux Moyen des Emprunts d'État. Définition de la Caisse des Dépôts et Consignations qui procède à son calcul, le TME est : "La moyenne des taux de rendement pondérés par les encours des OAT ayant une maturité supérieure à 7 ans et à taux fixe". Le TME étant calculé à partir du "THE", nous commencerons par définir ce dernier. Le "THE" est le Taux Hebdomadaire de rendement des Emprunts d'État à long terme sur le marché secondaire. Il résulte de la moyenne des taux de rendement actuariels nets acheteurs avec frais unitaire (sans application du minimum de courtage), calculés à partir du premier cours de bourse, des emprunts d'état faisant partie d'un échantillon mis à jour quotidiennement. Cette moyenne est pondérée par les encours en valeur nominale. Tous les calculs intermédiaires sont conduits sans arrondis à partir des taux individuels de chaque emprunt exprimés avec deux chiffres décimaux sur lesquels a été pratiqué un arrondi commercial. Le "TME" : Taux Mensuel de rendement des Emprunts d’État à long terme (plus de 7 ans) sur le marché secondaire, est la moyenne arithmétique simple des THE du vendredi de chaque semaine du mois concerné (ouvrés ou non).

TMO : Taux Mensuel Obligataire 1/2 Le TMO applicable à un mois donné est égal à la moyenne mensuelle des THO hebdomadaires. Les indices THO (Taux Hebdomadaire Obligataires), se rapportent à une semaine donnée, les indices TMO, taux mensuels obligataires, à un mois donné. Jusqu'au mois de janvier 2002, les TMO formaient deux groupes d'indices, le premier était relatif au secteur public et le second au secteur privé. Ils étaient calculés à partir des taux actuariels bruts unitaires et sans frais des émissions obligataires à taux fixe lancées sur le marché français. Chaque émission devait répondre à certains critères pour entrer dans le calcul d'un des deux indices. En raison de la raréfaction des émissions domestiques publiques essentiellement liées à l'unification du marché obligataire en Euros, il était devenu difficile voire impossible de déterminer des références THO et TMO significatives. En cas d'absence d'émission domestique une semaine donnée, il n'y avait pas de publication de THO pour ladite semaine et de plus en plus de références mensuelles devaient être déterminées sur la base de taux de rendement du marché secondaire d'un gisement d'emprunts domestiques publics lui-même assez stagnant et dont le volume était en baisse. (suite en page suivante…)

TMO : Taux Mensuel Obligataire 2/2 (…) C'est pourquoi le Comité de Normalisation Obligataire (CNO) a préconisé la substitution de la nouvelle définition, objet de l'avis N° 2001-3628 désormais en vigueur depuis le mois de janvier 2002. Désormais THO privé = THO public et TMO privé = TMO public. La formule de calcul est la suivante : THO = CNO-TEC10® + 0.25 %. Les calculs de THO sont effectués chaque semaine en utilisant le fixing CNO-TEC10® du jeudi de la semaine concernée. Dans le cas où ce jour-là, il n'y a pas de fixing, le fixing retenu est celui du premier jour ouvré suivant. La publication du THO est effectuée le premier jour ouvré suivant la date de fixing. Ainsi, le premier THO du mois de janvier a été calculé à partir de la référence CNO-TEC10® fixée le jeudi 3 janvier 2002 et sa publication effectuée le 4 janvier 2002, comme étant le THO daté du 3 janvier 2002. Le TMO du mois de janvier 2002 a été calculé en faisant la moyenne arithmétique des THO datés des 3, 10, 17, 24 et 31 janvier. La détermination du CNO-TEC 10® (10 pour 10 ans) est quant à elle assez complexe. Elle résulte du taux quotidien de l'échéance constante à 10 ans tel qu'il est obtenu par interpolation linéaire entre les deux taux de rendements actuariels des 2 valeurs du Trésor qui encadrent au plus proche la maturité 10 années théorique.

TECn : Taux de l'Échéance Constante à n ans Taux actuariel de rentabilité d'une obligation assimilable du Trésor. Le comité de normalisation obligataire calcule des TEC sur les durées suivantes : 2, 5, 7, 10, 15, 20 ans. Si la maturité d'une obligation diffère de l'un de ces TEC, une interpolation linéaire est effectuée. A titre d'exemple le TEC10 Le nouvel indice est le taux actuariel d'une OAT fictive d'échéance à tout instant exactement 10 ans : le TEC 10. Modalités de calcul : interpolation linéaire des taux actuariels des deux OAT encadrant l'échéance 10 ans. Sélection des OAT : OAT à taux fixe in fine, à intérêt annuel, d'un encours (réglé) de référence supérieur à 20 milliards de Francs et détachant leur coupon un 25 janvier, avril, juillet ou octobre. Méthode de calcul : un fixage quotidien (à 10h00) est effectué, à partir des cotations des SVT. Périodicité de calcul et de publication : quotidienne. Agent de calcul : Comité de Normalisation Obligataire. N.B.: "SVT" Spécialiste en Valeurs du Trésor (Les 5 principaux en 2015 sont : BNP, Société Générale, Barclays, Natixis, HSBC)

Ces Tramways d'Athènes sont-ils à l'origine du bizutage des banquiers débutants chargés d'acheter des obligations des tramways de Venise ?

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