La maximisation de la fonction d’utilité La théorie microéconomique du consommateur est une théorie des choix qui attribue comme hypothèse un comportement maximisateur au consommateur Donc: Le problème économique du consommateur est : Maximiser sa satisfaction : f ( x,y ) S/C du Revenu R des prix des biens

Les hypothses de la maximisation de la f. d’utilité: 1). R, Px et Py des données Externes influant sur Son pouvoir d’achat ( hors volonté) 2). R = xPx + yPy 3) R est dépensé en intégralité ainsi: la relation entre le budget ( le revenu) et les couts d’achat R = xPx + yPy ; s’appelle la relation de budget ou la relation de prix

MAXIMISATION DE LA F. DUTILITE en l’absence de l’intervention de l’état, le problème s’écrit comme suit: Max : U x y = f ( x , y ) S/C: R = xPx + yPy MAXIMISATION DE LA F. DUTILITE Le cas discret: Le problème du consommateur est de : maximiser son utilité sans dépasser son revenu limité (contrainte budgétaire).

Dans les deux approches l’approche cardinale et l’approche ordinale ; on a vu que l’équilibre se réalise mathématiquement : Umx/Px = Umy/Py  R = xPx + yPy Graphiquement : U est maximale pour le point de tangence entre CI et la droite de budget Umx/Umy( TMS) = Px/Py

2. le cas continu: On fait recours à l’une des 02 méthodes suivantes : la méthode de substitution la méthode de Lagrange 2.1. la méthode de substitution: elle suppose la résolution du problème d’optimisation en résolvant la contrainte par rapport à l’une des variables et en renvoyant le résultat obtenue dans la fonction d’utilité

on a : U = f ( x , y ) …….(1) Max U = f [ x1 , ] Ainsi : R = xPx + yPy …..(2) On remplace (2) dans (1): U = f ( x , ) Ainsi : Le problème de maximisation qui est définie par rapport à une variable X s’écrit: Max U = f [ x1 , ]

2.1.1. les conditions de maximisation de U: 1ere condition: f ‘ (U x ) = 0 La fonction d’utilité devient maximale quand pour un point x = x0 , l’utilité marginale s’annule, et que après ce point ; l’utilité totale diminue traduite par des valeurs négatives de l’utilité marginale ; Autrement dit quand la dérivée change pour la valeur (x = x0 ) du positif au négatif comme illustrée dans la figure ci-dessus   2eme condition: f ‘’ (Ux) < 0

Remarque: - Au maximum, la pente de la courbe de l’utilité totale devient horizontale, c.a.dire au point de tangence, (la pente - qui représente la dérivée première de la fonction d’utilité- est égale à zéro ): Umx = 0 - Le signe de la dérivée seconde de la fonction d’utilité permet de définir le sens de la courbe : pour U maximale : f ‘ (Ux) = 0 ; f ‘’ (Ux) < 0 pour U minimale : f ‘ (Ux) = 0 ; f ‘’ ( Ux) > 0

Exemple :  Soit la fonction d’utilité d’un consommateur : Uxy = x . y . On a : Px = 4 ,  : Py =10 ; R = 200. Il est demandé de déterminer les quantités de biens X et Y qui maximisent la fonction d’utilité.   Corrigé: U = x.y ….(1) R = 4x + 10y = 200 y = 20 - ….(2) On remplace (2) dans (1): U = x. ( 20 - ) 1ere condition: On calcule : f’( U) = 0 U’x = (20 . x – 𝟐𝒙 𝟐 𝟓 )’ = 0 → U’ x = 20 - = 0 - Maximiser la fonction d’utilité suppose que sa dérivée première soit nulle

20 - = 0 100 – 4 x = 0 100 = 4 x x = 25 …..(3) On remplace (3) dans (2): y = 20 – 2/5 . 25 y = 10 2eme condition: U est maximale si : U’’x < 0 U’’x = ( Ux’)’ = ( 20 - )’ = - 4/5 Donc la 2eme condition est vérifiée ( 25 ; 10) permet au consommateur de maximiser son utilité qui sera = : U = 25 . 10 = 250 utilons 20

L(x, y, λ) = Uxy + λ ( - xPx – yPy +R) 2.2. la méthode du Lagrangien: Le problème d’optimisation se règle en faisant recours à une fonction auxiliaire appelée « le Lagrangien » Cette fonction associe la fonction-objectif et la contrainte Le Lagrangien du problème de maximisation de l’utilité du consommateur s’écrit de la sorte : L(x, y, λ) = Uxy + λ ( - xPx – yPy +R) ( λ :le multiplicateur de Lagrange )

On a : L(x, y, λ) = Uxy + λ ( - xPx – yPy +R) 2.2.1. la maximisation de U par la méthode de lagrange : On a : L(x, y, λ) = Uxy + λ ( - xPx – yPy +R) On vérifie 02 conditions: 1ere condition: annuler les dérivées partielles. Soit : Lx’ = U’x – λ Px = 0 U’x = λ Px λ = …………..(1) Ly’ = U’y – λ Py = 0 U’y = λ Py λ = …….(2) L’λ = - xPx – yPy +R = 0……(3) - L’ λ : la contrainte budgétaire. (1) et (2) vont permettre d’exprimer x en fonction de y . Puis de trouver les valeurs optimales de x et y en les injectant dans (3) . Ainsi x et y sont les valeurs d’équilibre qui rend U maximale.

cette condition ne se vérifie que pour CI convexes ( biens normaux) de (1) et (2); on a: λ = = . On peut écrire: = On sait que: U’x = Umx et U’y = Umy . Donc : = Avec: la pente de la droite de budget ; la pente de CI ( TMS) . Remarque: cette condition ne se vérifie que pour CI convexes ( biens normaux)

∆ = L’’yx L’’yy L’’y λ 2eme condition: Pour vérifier si U est à son maximum, il faut que : Δ ( le déterminant hessien) > 0 L’’xx L’’xy L’’x λ ∆ = L’’yx L’’yy L’’y λ L’’ λx L’’ λy L’’ λ λ méthode de calcul de Δ : L’’xx L’’xy L’’x λ L’’xx L’’xy Δ = L’’yx L’’yy L’’y λ L’’yx L’’yy > 0 L’’ λx L’’ λy L’’ λ λ L’’ λx L’’ λy

exemple: - Soit la fonction d’utilité d’un consommateur : U = 5 x y. déterminer les quantités des biens X et Y sachant que Px = 1, Py = 2 et R = 20. Corrigé: Le problème posé est de maximisation de U sous contrainte de R: Max : Uxy = 5 x y S/C : x + 2y = 20 La formulation de l’équation de lagrange : L x y λ = 5 x y + λ ( - x – 2 y + 20) Vérification des conditions: 2.1. 1ere condition: L’x = 5y – λ = 0 5y = λ y = ….(1) L’y = 5x - 2 λ = 0 5x = 2 λ x = …..(2) L’ λ = - x – 2y + 20 = 0 …(3)

on remplace (1) et (2) par leur valeurs dans (3) - + 2 + 20 = 0 - = - 20 λ = 25 ……(4) On remplace (4) dans (1) et (2) ; on trouve : y = 5 et x = 10 les 1er résultats donnent la combinaison : A: ( 10 , 5 ) 2.2. 2eme condition: Pour que A soit vraiment la combinaison d’équilibre du consommateur, il faudrait vérifier la condition du deuxième ordre  pour laquelle Δ > 0 

L’’xx = 0 L’’xy = 5 L’’xλ = -1 Δ = L’’yx = 5 L’’yy = 0 L’’ yλ = -2 L’’λx = -1 L’’λy = -2 L’’λλ = 0 On calcule Δ par la méthode des diagonales: 0 5 -1 0 5 Δ = 5 0 -2 5 0 = 20 > 0 -1 -2 0 -1 -2 Conclusion : Δ > 0 . Donc A ( 10 , 5) assure l’équilibre du consommateur

Il représente l’utilité marginale du revenu R La signification économique de la variable λ : A l’équilibre: λ = U’x / Px = U’y / Py Le multiplicateur mesure le supplément d’utilité qui découle d’un accroissement unitaire des ressources. Il indique précisément l’augmentation d’utilité tirée d’un desserrement de la contrainte budgétaire ( égal à une unité). Il représente l’utilité marginale du revenu R

Démonstration: On pose la différentielle totale de R soit: dR = Px dx + Py dy À l’optimum: U’x – λPx = 0 Px = U’x / λ U’y - λPy = 0 Py = U’y / λ Donc: ∂ R = U’x /λ ∂ x + U’y /λ ∂ y = 1/ λ [ U’x ∂ x + U’y ∂ y] On sait que:  dUT = U’x ∂ x + U’y ∂ y Résultat: ∂ R = 1 / λ ∂ U ∂ U = λ ∂ R λ = ( var . de U due à la var. de R) Signification: si R U de : λ ∂ R

au point de tangence de CI a la droite budgétaire Détermination géométrique de l’optimum du consommateur:  L’équilibre du consommateur se réalise au point de tangence de CI a la droite budgétaire Exemple: La fonction d’utilité d’un consommateur prend la forme suivante : y = 5 x y , Px = 2 , Py = 5 , R = 40 Calculer l’équilibre du consommateur ; Représenter graphiquement cet «équilibre Corrigé: Le point d’équilibre ( méthode de sub.): On a : U = 5 x.y ….(1) R = 40 = 2x + 5y ….(2) De (2) on a : y = 8 – 2/5 x ….(3)

On remplace (3) dans (1) : U = 5. x On remplace (3) dans (1) : U = 5 . x. ( 8 – 2/5 x) U = 40x - 2 x2 1ere condition: U’ x = ( 40x - 2 x2 )’ = 40 – 4 x = 0 x = 40/4 = 10 …(4) On remplace (4) dans (3): y = 8 – (2/5) . (10) y = 4 2eme condition: U’’ < 0 U’’ = (U’)’ = (40 – 4 x) = - 4 Donc: A:( 10 , 4 ) est la combinaison optimale. U = 5 . 10 . 4 = 200 ( valeur maximale)

représentation graphique: La droite de budget: les valeurs extrémums: x = R/Px = 40/ 2 = 20 ; y = R/Py = 40/5 = 8 La CI: U = 200 = 5xy y = 200/5x Tableau auxiliaire : X 2 5 10 20 30 Y 8 4 1.33