CSI 4506: Introduction à l’intelligence artificielle Représentation et logique I

Plan des cours des deux ou trois semaines suivantes Partie I: Logique propositionnelle Partie II: Calcul avec prédicats Partie III: Logique non-monotonique Partie IV: Preuves de résolution

Motivation (1) Afin de résoudre les problèmes complexes rencontrés en intelligence artificielle, on a besoin de deux choses: D’un grand montant de connaissances De mécanismes de manipulation de ces connaissances Exemple, pris de MYCIN: Si le patient à une infection bactériale cutanée et si des organismes spécifiques ne sont pas apparent dans l’analyse sanguine du patient, alors il y a évidence que l’organisme responsable pour l’infection est le staphylocoques

Motivation (2) Souvent, l’information à encoder dans la base de données d’un système de productions (exemple: Un système expert) prend ses origines dans des assertions descriptives qui sont parfois difficiles à représenter naturellement par des structures simples telles que des tableaux de données ou des ensembles de nombres Par Exemple: MYCIN doit rapporter et manipuler des ensembles d’assertions.

Survol (1) Dans cette partie du cours, afin de surmonter le problème de la représentation des connaissances, nous utiliserons des langages logiques Définition: Une logique est un instrument mathématique qui permet de construire et de manipuler des expressions symboliques. Nous étudierons deux langages de logique traditionnels: La Logique propositionnelle et Le calcul à prédicats. Nous nous arrêterons brièvement sur un langage non traditionnel: La logique non-monotonique.

Survol (2) Dans chaque langage logique étudié, nous: Définirons le langage (Syntaxe) Montrerons la façon dont il est utilisé pour représenter des assertions (Sémantique) Expliquerons comment des inférences peuvent être faites d’ensembles d’expressions de ce langage. Discuterons de la manière dont les assertions peuvent être déduites d’autres assertions dans ce langage.

La logique propositionnelle, P Partie I La logique propositionnelle, P

Plan du Cours Terminologie I: Syntaxe Sémantique Lois d’équivalence Formes normales Règles d’inférence Preuves et théorèmes Terminologie II: Complexité computationnelle Preuve de théorèmes automatisés: Réduction de buts Preuves par contradictions

Terminologie I Propositions: Une assertion qui peut être vraie ou fausse Formules: la négation d’une proposition, la conjonction ou la disjonction de deux formules, l’implication d’une formule à l’autre, l’équivalence de deux formules. Formule bien formée (Well-Formed Formula (wff): Une formule légale. Valeur logique (Truth Value): La valeur logique (vraie ou fausse) d’une proposition ou d’une formule Interprétation: Le don d’une valeur logique de wffs dans un monde possible. (Voir définition formelle plus tard)

Syntaxe pour P Un ensemble de variables propositionnelles Les connectives: , , , ,  Un ensemble de wffs définies inductivement de la manière suivante: Les variables propositionnelles A1  A2  … An ou chaque Ai est une wff A1  A2  … An ou chaque Ai est une wff  A ou A est une wff A  B et A  B ou A et B sont des wffs

Sémantique pour P : Tables logiques B=T B=F A=T T F A=F A  B B=T B=F A=T T A=F F Et Ou A  B B=T B=F A=T T F A=F A A=T F A=F T Implication Non

Lois d’équivalence (1) Lois d’élimination: Lois de De Morgan: (A)  A A  B  A  B Lois de De Morgan: (A  B)  A  B (A  B)  A  B Lois de distributivité: A  (B  C )  (A  B)  (A  C) A  (B  C )  (A  B)  (A  C)

Lois d’équivalence (2) Lois de commutativité: Lois d’associativité: A  B  B  A A  B  B  A Lois d’associativité: (A  B)  C  A  (B  C) (A  B)  C  A  (B  C) Loi contrapositive: A  B  B  A

Formes normales Il existe souvent plusieurs manières de représenter la même assertion logique: Exemple: P  Q P  Q  (P  Q) Il est nécessaire d’établir une convention La forme normale conjonctive (CNF): Une base de données de formules est en CNF si elle est représentée comme une conjonction de disjonctions de littéraux. La forme normale disjonctive (DNF): Une base de données de formules est en DNF si elle est représentée comme une disjonction de conjonctions de littéraux. Nous travaillerons principalement sur la CNF

Exemples (Ils seront présentés au tableau en classe)

Conversion d’une wff a une CNF 1. Élimination des symboles d’implication 2. Réduction de la portée des symboles de négation: On veut que chaque symbole de négation soit appliqué à une variable propositionnelle au plus. 3. Distribution des disjonctions 4. Élimination des symboles de conjonction

Règles d’inférence (1) Définition: Un mécanisme par lequel on peut tirer des conclusions. Modus Ponens: A  B A B MP: 1,2 Conjonction B A  B CONJ: 1,2

Règles d’inférence (2) Règle de résolution A1  ….  Ai  C  Ai+1 …  Am B1  ….  Bj  C  Bj+1 …  Bn A1  …  Am  B1  …  Bn RR: 1,2

Preuves et théorèmes Définition: Une preuve est une séquence d’assertions dans un langage approprié (e.g., P) dans laquelle chaque assertion est un axiome ou la conséquence immédiate d’une règle d’inférence et d’une assertion précédente dans la séquence. (Voir exemple en classe) Définition: Chacune des lignes de la preuve est un théorème du système formel.

Terminologie (1) Axiomes: Faits et règles Interprétation: assignation de valeurs aux littéraux. Model: Une interprétation qui donne la valeur “vrai” à tous les axiomes Règles d’inférence justes (sound): Manipulations qui produisent de nouveaux théorèmes à partir d’axiomes ou d’ancien théorèmes tels que les modèles des théorèmes anciens ou des axiomes sont garantis d’être des modèles des nouveaux théorèmes

Terminologie (2) Validité: Une wff qui est T (vraie) pour toutes les interprétations possibles est valide. Satisfiabilité: Si la même interprétation donne a chaque wff d’un ensemble de wffs la valeur T, alors on dit que cette interprétation satisfait l’ensemble des wffs. i.e., un ensemble de wffs est satisfiable s’il a un modèle Complétude: Une règle d’inférence est complète si, étant donné un ensemble de wffs S, la règle peut inférer toutes les expressions qui découlent logiquement de S.

Complexité computationnelle Déterminer la satisfiabilité d’une formule arbitraire de P est NP-Complet. i.e., Il est peu probable que la satisfiabilité peut être déterminée en temps polynomial dans la longueur de la formule. Étant donné que la satisfiabilité est difficile à établir et, si on suppose que nous sommes intéressés en des théories qui sont justes et complètes, il sera difficile de déterminer si une formule arbitraire est un théorème. En réalité, cependant, on peu souvent tirer les conclusions qui nous intéresse puisque tout ce que l’on vient de dire représente le cas extrême (pire).

Preuve de théorème automatisé en P (1) Réduction de But Exemple: Prouver R, étant donné: ( P  Q )  R R1 ( S  T )  Q R2 S F1 T F2 P F3 Solution: R  (R1) P, Q  (F3) Q  (R2) S, T  (F1) T  (F2) 

Preuve de théorème automatisé en P (2) Résolution par réfutation (Preuve par Contradiction) 1. Convertir les axiomes en CNF 2. Contredire le But 3. Utiliser la règle d’inférence de résolution autant de fois que nécessaire jusqu’a ce que vous arriviez a une tautologie ( T  T )  Succès!!! (Un exemple sera montre en classe)