Chapitres 5,6,9 : La mesure et la géométrie

Une hypothèse Une hypothèse est un énoncé mathématique que nous proposons comme vrai sur la base des observations faites, mais que personne n’a pu prouver. Une hypothèse est utilisée constamment avec des preuves de la géométrie.

Les droites sécantes et les segments de droite sécants Quand deux droites se coupent, elles forment quatre angles. Les angles opposés par le sommet ont la même mesure. Deux angles dont la somme est de 180° sont supplémentaires. Deux angles dont la somme est de 90° sont complémentaires.

Les droites perpendiculaires Les droites perpendiculaires sont les droites qui coupent à un angle droit (90°) vers le haut ou vers le bas. Les droites perpendiculaires ont des pentes qui sont les réciproques négatives aux eux-mêmes (voir l’exemple au tableau)

Les droites parallèles Les droites parallèles sont les droites qui ne coupent jamais. Les droites parallèles ont les mêmes pentes (chapitre 2) mais les ordonnées à l’origine différentes (des points de départ différents)

Des théorèmes des droites parallèles Quand une droite coupe des droites parallèles, 3 relations particulières entre les angles formés (voir la page 259): Les angles alternes internes (la forme en Z) Les angles correspondants (la forme en F) Les angles supplémentaires internes (la forme en C)

Les préfixes communs Les préfixes sont toujours attachés au commencement du mot et ils veulent dire un sens spécifique. Tri = 3 Tetra = 4 Penta = 5 Hexa = 6 Hepta = 7 Octa = 8 Nona = 9 Deca = 10 etc

Un polygone Un polygone a tous des côtés congruents et tous des angles congruents. Les polygones peuvent être régulier ou irrégulier. Les polygones régulier ont la symétrie de rotation et symétrie de la réflexion. Voici la différence principale entre les polygones régulier et irrégulier.

Les exemples des polygones régulier communs Un trigone régulier (un triangle équilatéral Un tétragone régulier (un carré) Un pentagone régulier (pentagone) Une hexagone régulier Un octogone régulier

Les préfixes du système métrique Les préfixes fréquemment utilisés sont: Kilo- (k) = 1000 Hecto- (h) = 100 Déca- (da) = 10 Base- = 1 Déci- (d)= 1/10 = 0.1 Centi- (c) = 1/100 = 0.01 Milli- (m) = 1/1000 = 0.001

Convertir des mesures entre unités métriques Pour convertir une mesure en une mesure qui utilise un préfixe différent, tu peux utiliser l’escalier métrique.

Comment utiliser l’escalier métrique #1 Quand tu descends l’escalier, tu convertis une unité en une unité plus petite. Alors, tu multiplies le nombre donné par 10nombre de marches

Un exemple de conversion #1 Pour convertir 6 km en mètres: 6 km = (6 x 103) m 6 km = (6 x 1000) m 6 km = 6000 m

Comment utiliser l’escalier métrique #2 Quand tu montes l’escalier, tu convertis une unité en une unité plus grande. Alors, tu divises le nombre donné par 10nombre de marches

Un exemple de conversion #2 Pour convertir 1200 mL en litres: 1200 mL = (1200 ÷ 103) L 1200 mL = (1200 ÷ 1000) L 1200 mL = 1.2 L

Le périmètre Le périmètre est la distance totale autour de la figure. Le symbole du périmètre est P. Le périmètre est une valeur unidimensionnelle mesurée en unités linéaires (un exposant de 1) comme le millimètre, le centimètre, le mètre ou le kilomètre.

L’aire L’aire est la mesure de la région que la figure contient. Le symbole de l’aire est A. L’aire est une valeur bidimensionnelle, mesurée en unités carrées (exposant de 2) comme le centimètre carré, le mètre carré ou le kilomètre carré.

L’aire du rectangle Pour calculer l’aire du rectangle: Arectangle = longueur x largeur

L’aire du triangle Pour calculer l’aire du triangle: Atriangle = ½ x base x hauteur

Une figure composée Une figure composée est une figure qui se compose de deux ou plus figures communes. Par exemple, tu peux décomposer le pentagone en un rectangle et un triangle.

Un cercle A cercle est une figure à 2 dimensions formée de tous les points d’un plan qui sont équidistants d’un point fixé. Cette distance constante s’appelle le rayon du cercle. Le point fixé s’appelle le centre du cercle. Il y a 360° dans une rotation complète autour un cercle.

Qu’est-ce que c’est pi? Pi est un nombre irrationnel qui représente le rapport du circonférence du cercle à son diamètre. Le symbole du pi est ∏ Pi égale à 3.1412… (c’est un nombre décimal illimité et apériodique) Pour rendre la vie plus facile, nous allons assumer toujours que la valeur de pi est 3.

La circonférence d’un cercle La circonférence d’un cercle est la distance autour de la figure. Alors. la circonférence est le périmètre du cercle. Le symbole de la circonférence est C.

Comment calculer la circonférence Pour calculer la circonférence d’un cercle: C = (2)(Π)(r) ou C=(Π)(d) Π est le symbole de pi (qui est égale environs à 3), r est le rayon du cercle et d est le diamètre du cercle.

Comment calculer l’aire d’un cercle Pour calculer l’aire d’un cercle: A = (Π)(r2)

Les termes de géométrie Congruent veut dire la même forme et la même taille. Parallèle veut dire dans le même espace mais pas d’intersection. Un développement peut aider à visualiser les faces d’une figure à trois dimensions. (voir la page 221)

Les prismes et les cylindres Les prismes et les cylindres ont 2 faces congruentes et parallèles.

Les exemples des prismes et des cylindres Il y a trois exemples communs: un prisme rectangulaire un cylindre un prisme triangulaire

L’aire totale des prismes et des cylindres L’aire totale d’une figure à trois dimensions est égale à la somme des aires de toutes les faces.

Une figure à trois dimensions composée Une figure à trois dimensions composée est formé de deux ou de plusieurs figures à trois dimensions.

L’aire totale d’une figure à trois dimensions composée Pour déterminer l’aire totale de ce type de figure, tu trouves l’aire des faces exposées. Alors, l’aire totale d’une figure à trois dimensions est égale à la somme des aires de toutes les faces.

Le volume de prismes et de cylindres Le volume d’un solide est l’espace occupé par le solide. Le symbole du volume est V. Le volume est une valeur tridimensionnelle exprimée en unités cubiques (un exposant de 3), comme les millimètres cubes, les centimètres cubes et les mètres cubes.

La capacité de prismes et de cylindres La capacité est le volume maximal qu’un récipient peut contenir. La capacité est exprimé en litres ou en millilitres.

Comment calculer le volume d’un prisme: Pour calculer le volume d’un prisme : Vprisme = aire de la base x hauteur Vprisme = Abase x h

Comment calculer le volume d’un cylindre: Pour calculer le volume d’un cylindre: Vcylindre = Πr2 x h

Comment calculer le volume de figure à 3-D composées Tu peux trouver le volume d’une figure à trois dimensions composée par additionner les volumes des figures qui forment la figure composée.

Le volume de figures à trois dimensions Le volume est l’espace qu’un objet occupe, exprimé en unités cubiques. Un polygone est une figure fermée à deux dimensions dont les côtés sont des segments de droite. Un polyèdre est une figure à trois dimensions dont les faces sont des polygones.

Les figures à trois dimensions Nous allons calculer le volume de trois figures à trois dimensions: Un cône Une pyramide Une sphère

Un cône Un cône est un objet à trois dimensions ayant une base circulaire et une face courbe.

Comment calculer le volume du cône Pour calculer le volume d’un cône: Vcône = 1/3 x (le volume de cylindre) Vcône = 1/3 x Πr2 x h

Une pyramide Une pyramide est un polyèdre qui a une base polygonale et le même nombre de faces que la base a de côtés. Comme les prismes, les pyramides sont nommées d’après la forme de leur base.

Comment calculer le volume d’une pyramide Pour calculer le volume d’une pyramide: Vpyramide= 1/3 x(le volume de prisme) Vpyramide = 1/3 x Abase x h

Une sphère Une sphère est un objet rond comme une balle. Tous les points de la surface d’une sphère sont à la même distance du point fixe appelé « centre »

Comment calculer le volume d’une sphère Pour calculer le volume d’une sphère: Volume d’une sphère = 4/3 x Πr3

L’aire totale de figures à trois dimensions L’aire totale est la somme des aires de toutes les faces d’une figure à trois dimensions. L’aire totale de n’importe quel prisme, pyramide ou cylindre est simplement la somme de l’aire des faces exposées. Le symbole de l’aire totale est At

Comment calculer l’aire totale du cylindre Pour calculer l’aire totale du cylindre: At= 2Πr2 + 2Πrh

Comment calculer l’aire totale du cône Pour calculer l’aire totale du cône: Trouve la somme de l’aire de sa base et l’aire latéral. At = Πr2 + Πro

La génératrice La longueur de la génératrice utilise le symbole o En anglais, la génératrice veut dire « slant height » La génératrice est calculée en utilisant le théorème de Pythagore.

Comment calculer l’aire totale d’une sphère Pour calculer l’aire totale d’une sphère: At = 4Πr2

Un cube Un cube est le produit de trois facteurs égaux. Chaque facteur représente la racine cubique du nombre. Par exemple, la racine cubique de 8 est 2 parce que 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Unique Triangles A unique triangle is a triangle that does not have an equivalent. (“one-of-a-kind”)

How to create a unique triangle These conditions are needed to create a unique triangle: The SSS case means that all three sides are given. The SAS case means that the measures of two sides and the angle between the two sides are given. The ASA case means that the two angles and the side contained between the two angles are given. The AAS case means that the two angles and a non-contained side are given.

Congruence The symbol for congruence, ≈, is read « is congruent to. » If 2 geometric figures are congruent, they have the same shape and size.

How to determine 2 Congruent Triangles To determine 2 congruent triangles, we must check a set of minimum sufficient conditions: Measure the lengths of 1 pair of corresponding sides and 2 pairs of corresponding angles and find them equal. Measure the lengths of 2 pairs of corresponding sides and the angles included by these sides and find them equal. Measure the lengths of 3 pairs of corresponding sides and find them equal.

Similar figures The symbol, ~, means « is similar to » Two figures (polygons) are similar when their corresponding angles have the same measure and their corresponding sides are in proportion.

How to determine 2 Similar Triangles To determine 2 similar triangles, we must check a set of minimum sufficient conditions: 2 pairs of corresponding angles have the same measure. The ratios of 3 pairs of corresponding sides are equal (i.e. these 3 pairs are proportional) 2 pairs of corresponding sides are proportional and the corresponding included angles are equal.

Transformations A transformation is a mapping of one geometrical figure to another according to some rule. A transformation changes a figure’s pre-image to an image.

Pre-image vs. Image A pre-image is the original line or figure before a transformation. An image is the resulting line or figure after a transformation. See page 5 of Math 9 booklet to see the difference in notation between these 2 terms.

The types of transformations There are 4 types of transformations: Translations Reflections Rotations Dilatations.

A translation A translation is a slide. It is represented by a translation arrow.

A reflection A reflection is a flip. It is represented by a reflection line m (a double arrowed line)

A rotation A rotation is a turn. It is represented by a curved arrow either in a clockwise or counter clockwise direction.

A dilatation A dilatation is an enlargement or reduction. Dilatations always need a dilatation centre and a scaling factor. A scale factor is a ratio or number that represents the amount by which a figure is enlarged or reduced: (image measurement) ÷ (pre-image measurement)

Transformations on a Cartesian Grid A map associates each point of a geometric shape with a corresponding point in another geometric shape on a Cartesian Grid. A map shows how a transformation changes a pre-image to an image.

An example of a map (2,3) → (4,7) means that the point (2,3) maps onto point (4,7). This implies that there is a relationship between the 2 points. (2,3) and (4,7) are called corresponding points.

Mapping Rule The relationship between 2 corresponding points, expressed as algebraic expressions, is called a mapping rule. For example: (2,3) → (4,7) has a mapping rule (x,y) → (x+2, y+4)

Properties of Transformations The properties of translations, reflections and 180° rotations were discussed in Grade 8. These properties are summarized on the worksheet (GS BLM 6.2 Properties of Transformations Table)

Minimum Sufficient Conditions for Transformations To be certain that 2 shapes have undergone a specific transformation, one must provide a minimum sufficient condition (information).

The Minimum Sufficient Condition for a Translation The line segments joining corresponding points are congruent, parallel and in the same direction.

Minimum Sufficient Condition for a Reflection The line segments joining corresponding points have a common perpendicular bisector.

A perpendicular bisector A perpendicular bisector is a line drawn perpendicular (at a 90° angle) to a line segment dividing it into 2 equal parts. The perpendicular bisector always intersects with the midpoint of the original line segment.

Minimum Sufficient Condition for a 180° Rotation The line segments joining corresponding points intersect at their midpoints.

Regular polyhedron (Grade 7) A regular polyhedron is a 3-D figure with faces that are polygons. Polyhedron’s plural is polyhedra.

Platonic solids The Platonic solids are the 5 regular polyhedra named after the Greek Mathematician Plato.

The 5 Platonic solids The cube The regular tetrahedron The regular octahedron The regular dodecahedron The regular icosahedron See Page 39 of Math 9 booklet

The 3 characteristics of regular polyhedra (Platonic solids) All faces are 1 type of regular polygon. All faces are congruent. All vertices are the same (i.e. they have vertex regularity)

What is vertex regularity? When all vertices in a polyhedron are the same, you have vertex regularity, which can be described using notation. For example, the notation {5,5,5} represents the vertex regularity of a regular dodecahedron because there are 3 regular 5-sided polygons at every vertex.

Circle Geometry In this section of circle geometry, we will be introduced to these new terms: Central angles Inscribed angles Tangent of a circle Circumscribed angle

Central angle A central angle is an angle formed by 2 radii of a circle. (page 42)

Inscribed angle An inscribed angle is an angle that has its vertex on a circle and is subtended by an arc of the circle. (page 42) What does “subtended” mean geometrically?

Tangent of a circle A tangent of a circle is a line that touches a circle at only 1 point, the point of tangency. (page 43)

Circumscribed angle A circumscribed angle is an angle with both arms tangent to a circle. (page 44)

A polygon A polygon has all sides congruent and all angles congruent. Polygons can be both regular and irregular. Regular polygons have both reflective and rotational symmetry. (Major difference between regular and irregular polygons)

Regular polyhedron A regular polyhedron is a 3-D figure with faces that are polygons. Polyhedron’s plural is polyhedra.

Polyhedra with regular polygonal faces In grade 9 Geometry, there are several types of polyhedra: The 5 Platonic solids A uniform prism An antiprism A deltahedron A dipyramid The Archimedean solids

The 5 Platonic solids The cube The regular tetrahedron The regular octahedron The regular dodecahedron The regular icosahedron See Page 39 of Math 9 booklet

Uniform prism A uniform prism is a prism having only regular polygonal faces. (page 50)

Antiprism An antiprism is a polyhedron formed by 2 parallel, congruent bases and triangles. Each triangular face is adjacent (next to) 1 of the congruent bases. Page 51

Deltahedron A deltahedron is a polyhedron that has only equilateral triangle faces. The deltahedron is named after the Greek symbol delta (Δ) The plural is deltahedra. Page 51

Dipyramid A dipyramid is a polyhedron with all triangle faces formed by placing 2 pyramids base to base. Page 52

Archimedean solids The Archimedean solids are the 13 different semi-regular polyhedra. The Archimedean solids have vertex regularity and symmetry (reflective and rotational)

13 Archimedean solids (page 53) Cuboctahedron Great rhombicosidodecahedron Great rhombicuboctahedron Icosidodecahedron Small rhombicosidodecahedron Small rhombicuboctahedron Snub cube

13 Archimedean solids (page 53) continued Snub dodecahedron Truncated dodecahedron Truncated icosahedron Truncated octahedron Truncated tetrahedron Truncated cube

What is a vertex? A vertex is a point at which 2 or more edges of a figure meet. The plural is vertices.

Vertex configuration Vertex configuration is the arrangement of regular polygons at the vertices of a polyhedron. (page 50) Vertex configuration notation refers to the types of regular polygons around a vertex. For example, the notation {3,4,5,4} means that a vertex has an equilateral triangle, a square, a regular pentagon and a square around it in that order.

Plane of symmetry A plane of symmetry is a plane dividing a polyhedron into 2 congruent halves that are reflective images across the plane. Page 53

Axis of symmetry An axis of symmetry is a line about which a polyhedron coincides with itself as it rotates. The number of times a polyhedron coincides with itself in 1 complete rotation is its order of rotational symmetry.

The properties of regular polyhedra All faces are regular polygons. All faces are the same type of congruent polygon. The same number of faces meet at each vertex. Regular polyhedra have several axis of symmetry (rotational symmetry) Regular polyhedra have several planes of symmetry (reflective symmetry)

The difference between semi-regular and regular polyhedra Regular polyhedra = Platonic solids, etc. Semi-regular polyhedra = Archimedean solids All faces of a semi-regular polyhedron are not the same type of regular polygon.