Intégrales impropres Quarrive-t-il si lintervalle dintégration est infini? Quarrive-t-il sil y a une discontinuité dans lintervalle? Quarrive-t-il si sil y a une discontinuité dans lintervalle et que celui est infini?
2 Deux types dintégrales impropres : Celles où au moins une des bornes dintégration est infinie Celles qui possèdent une discontinuité à lintérieur de lintervalle dintégration Dans les deux cas, on remplace la «valeur fautive» par un paramètre t. On calcule lintégrale définie avec ce paramètre t, puis on évalue la limite quand t tend vers cette valeur fautive. Le calcul de la limite est toujours la dernière étape à effectuer. Si la limite existe (donne un nombre réel), on dira que lintégrale est convergente (converge vers cette valeur réelle). Si la limite nexiste pas ou égale ±, lintégrale est dite divergente Mise en situation
3 1 er cas : Au moins une borne infinie où c est un point quelconque de lintervalle Remarque : les deux intégrales doivent converger pour que lintégrale converge at a x x y y btb - - xx y y Si les deux bornes sont infinies: on sépare lintégrale en deux intégrales afin de revenir sur les cas précédents.
4 Trompette de Torricelli lintégrale converge Soit la surface comprise entre la courbe de 1/x et laxe des x (de 1 à linfini) qui tourne autour de laxe des x. Cela génère un solide de révolution appelé le cor de Gabriel ou la trompette de Torricelli ( )
5 Exemple : les deux bornes sont infinies lintégrale converge
6 Si f ( x ) est discontinue en x = a Si f ( x ) est discontinue en x = b Si f ( x ) est discontinue en x = c ]a, b[ ab b ta a b at b Remarque: les deux doivent converger pour que lintégrale converge 2 e cas: Discontinuité dans lintervalle
7 Discontinuité sur une borne dintervalle lintégrale diverge
8 Discontinuité à lintérieur de lintervalle Discontinuité en x = 0