Motif et mailles élémentaires d’une structure à deux dimensions Ces mailles ne contiennent qu’un motif : mailles unitaires Chaque sommet, ou nœud, se trouve dans le même environnement

Motif et mailles d’une structure à deux dimensions Ces mailles contiennent 2 motifs (2noeuds) : mailles multiples

Maille élémentaire tridimensionnelle Maille : volume parallélépipédique défini par des vecteurs a, b et c. Système cristallin : forme de la maille (ex. cube, prisme, etc.) La juxtaposition de mailles identiques engendre le réseau cristallin. Les sommets sont les nœuds du réseau. Une particule y est souvent placée. Chaque maille contient un ou des motifs constitué de une ou plusieurs particules.

Un réseau peut en général être décrit par une maille primitive …. B D A Exemple de maille primitive P (1 noeud) C C B B D D A A

… mais une autre maille peut être plus commode Maille multiple I (2 nœuds)

Mailles simples et mailles multiples (représentation conventionnelle) Mode de réseau Motifs par maille Maille unitaire Primitif P Z = 8/8 =1 double centré I Z = 8/8 + 1 = 2 double base centrée S Z = 8/8 + 2/2 = 2 quadruple faces centrées F Z = 8/8 + 6/2 = 4

1/8 de la sphère est à l’intérieur de la maille

Caractéristiques des mailles des 7 systèmes cristallins cubique a = b = c a = b = g = 90° hexagonal a = b  c a = b = 90° ; g = 60° quadratique rhomboédrique a = b = g  90° orthorhombique a  b  c monoclinique a = g = 90°  b triclinique a  b  g a, b, c sont les paramètres de maille

Diffraction des rayons X : loi de Bragg Source X p/2 -q q d Vibrations en phase si 2 d sin q = n l

Empilements compacts de sphères

Empilement A/B/A/…

Empilement A/B/C/A/B/C…

Empilements compacts : 1. structure hexagonale (A/B/A/B…)

Empilements compacts : structure hexagonale Une maille plus simple (mais qui occulte la symétrie hexagonale)

Structure hexagonale compacte B A 2r B F h F h = 2CF E D E D AB = 2r cos 30° = 2r (√3)/2 = r √3 AC = 2/3 AB = 2/3 r √3 CF2 = AF2 – AC2 = 4r2 – (2/3 r √3)2 = r2(4 -4/3) = (8/ 3)r2 h = 2 CF = 2r√(8/3) = 4r √ (2/3) Prisme à base losange V = h. AB. 2r =4r√(2/3).r√3.2r = 8 r3 √2

Empilements compacts : 2. cubique à faces centrées (A/B/C…)

Réseau cfc : sites interstitiels octaédriques B D C a A B Petite diagonale du cube 4r = a √2 a = 2 r √2 r + rO = a/2 = r √2 r/rO = √2 – 1 ≈ 0,414 C D 2(r + rO)

Réseau cfc : sites interstitiels tétraédriques B A B E D C C D EF = a/4 a = 2 r √2 BE = r + rt BE2 = BF2 + EF2 = r2 + (2 r √2)2/16 = r2 + r2/2 = 3r2/2 r + rt = r √(3/2) rt/r = √(3/2) – 1 ≈ 0,225

Empilement non-compact : cubique centré

CCP = cubique F. Centrées ; HCP = Hexagonal compact BCC = cubique centré; (gaz nobles « solides » : CCP)

Alliages : solutions solides de substitution interstitielles composés intermétalliques Substitution Interstitiel