Traitement des fréquences irrégulières dans la méthode des éléments de frontière : étude numérique d’un processus de moyennage Antoine Lavie Alexandre Leblanc

Sommaire 1. Problématique 2. Considérations théoriques 3. Test de la source ponctuelle 4. Application à « l’œil de chat » 5. Conclusion

Problématique Problème à résoudre Problème de Neumann :

Problématique Solutions Représentation de Helmholtz extérieure (RHE) : Méthode de superposition des ondes (MSO) :

Considérations théoriques Fréquences irrégulières - RHE : valeurs propres du problème de Dirichlet intérieur associé MSO : valeurs propres de la géométrie générée par les sources de superposition

Considérations théoriques Méthodes classiques - CHIEF (méthode de Schenck) et dérivées - Méthode de Burton et Miller Méthode proposée Méthode de moyennage :

Test de la source ponctuelle Principe Calcul analytique du rayonnement d’un monopole :

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini (MSO) 2e fréquence irrégulière kb≈3,8 1 monopole : x=0,05a ; y=0,1a a b=a/10 eau 100 sources de superposition

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle Cas 3D : cylindre axisymétrique (RHE) 100e fréquence irrégulière ka≈11,3 z 2 monopoles identiques : z=b/3 et z=-b/3 b RHE : EQM=592% Moyennage (e=k/200) : EQM=0,7% b=1,5a a eau  k/10 k/20 k/50 k/100 k/200 k/500 k/1000 EQM 164% 32% 5% 1,4% 0,7%

Test de la source ponctuelle Cas 3D : cylindre axisymétrique

Test de la source ponctuelle Cas 3D : sphère axisymétrique (RHE) 72e fréquence irrégulière ka≈25,0 z 2 monopoles identiques : z=a/4 et z=-a/4 a RHE : EQM=774% Moyennage (e=k/200) : EQM=0,8% eau

Test de la source ponctuelle Cas 3D : sphère axisymétrique

Application à « l’œil de chat » Cas 3D : œil de chat Chargement : - déplacement normal unitaire sur la partie sphérique ; - déplacement nul sur les 3 faces planes. Au point arrière :

Application à « l’œil de chat » Cas 3D : œil de chat ε=k/200

Conclusion Méthode de moyennage entre k+iε et k-iε Bilan :  - facile à mettre en oeuvre - efficace : pour la RHE et pour la MSO ; sur une large gamme de fréquences ; pour des géométries complexes et variées.  - pas de justification théorique : nécessite une pré-étude pour paramétrer ε.