Pythagore: triangle rectangle, et triplets de carrés. Découverte Junior – Gérard Villemin Pythagore: triangle rectangle, et triplets de carrés. Pythagore est un mathématicien grec de l’Antiquité (vers 500 avant Jésus-Christ). Lui et ses amis étaient très forts en arithmétique. Ils trouvaient même que les nombres avaient des propriétés magiques. Géométrie Junior – Chapitre 7 Par Clément (9 ans) – août 2011

Deux carrés L’aire du carré rouge égale 9 L’aire du carré bleu égale 16 La somme est égale à 25

Trois carrés 4² 5² Violet = bleu + rouge 25 = 16 + 9 5² = 4² + 3² 3²

Trois carrés qui forment un triangle rectangle 5² = 4² + 3² c² = b² + a² a Cette égalité est vraie pour tous les triangles rectangles. C’est une propriété bien connue de Monsieur Pythagore qui vivait 500 ans avant Jésus-Christ. b

Calcul du troisième côté du triangle rectangle On connaît les longueurs des côtés a et b; il faut calculer la longueur de c. c² = b² + a² a=5 c² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61 = 7,810249676 …² c = 7,810 … b=6 Le troisième côté (c) du triangle rectangle s’appelle l’hypoténuse

Exemples de triplets (3k)² + (4k)² = (5k)² 3² + 4² = 5² 9 + 16 = 25 3² + 4² = 5² 9 + 16 = 25 6² + 8² = 10² 36 + 64 = 100 9² + 12² = 15² 81 +144 = 225 En multipliant chaque terme d’un triplet on reforme un nouveau triplet. On peut en créer autant que l’on en veut. (3k)² + (4k)² = (5k)²

Triplets de Pythagore: exemples Tous les triplets que j’ai trouvés en utilisant un tableur Exemple: 10² + 24² = 26² car 100 + 576 = 676

L l d RECTANGLE Périmètre: P = (L + l) x 2 Diagonale: d² = L² + l² Longueur l d largeur diagonale Périmètre: P = (L + l) x 2 Diagonale: d² = L² + l² Aire: A = L x l

Le problème de Pythagore c = 1 d² = c² + c²= 2 c² d = ?????? c d = ? C’est le problème de Pythagore. Il cherche un nombre qui multiplié par lui-même donne 2. En ce temps là, on ne connaissait que les nombres entiers. Lui et ses amis ne voulaient pas croire qu’il existait d’autres nombres. Ils découvrent que racine de deux = 1,4142 … Un nombre avec des chiffres derrière une virgule. Ils sont effrayés. Ils veulent garder le secret. Mais, l’un d’eux trahit le secret et sera jeté à la mer. d = √2 = 1,41421356 … d = √2 c Diagonale du carré:

Table des racines carrées c = n Quelle est la longueur de la diagonale du carré si le côté mesure n (mètres)? d = √n Exemples: Si le côté mesure 10 mètres alors la diagonale mesure √10 = 3,1623 … mètres. Si le côté mesure 25 mètres alors la diagonale mesure √25 = 5 mètres. Normal 25 est le carré de 5.