Projet soutenu par le FNRS (No. 21-62003.00) Identification par recalage modal et fréquentiel des propriétés constitutives de coques en matériaux composites Thèse EPFL n°3106 Joël Cugnoni LMAF / I2S / STI / EPFL Projet soutenu par le FNRS (No. 21-62003.00) 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

Structure de la présentation Introduction Motivations Etat de l’art (caractérisation de composites) Nouveaux développements et objectifs Analyse modale expérimentale Objectifs et dispositif de mesure Excitation acoustique optimisée Extraction modale par curve fitting MDOF Modèle d’éléments finis de coque stratifiée en matériaux composites Objectifs et théories ESL Formulation de l’élément de coque d’ordre p Validation Identification modale mixte numérique - expérimentale Objectifs et démarche de développement Normes et fonctionnelles d’erreur: définition, sensibilité, pondération, calcul des gradients Problème de minimisation et algorithme d’optimisation Spécimens et tests statiques de référence Mesures modales et identification mixte Paramètres identifiés Conclusions et perspectives 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

1.1 Motivations Techniques de caractérisation classiques de composites Au moins 6 paramètres constitutifs sont nécessaires: E1, E2, G12, G13, G23, n12 Généralement 5 tests statiques requis Un nombre important de spécimens doivent être utilisés pour réduire la dispersion inhérente aux méthodes de test traditionnelles (effets locaux, défauts de géométrie / alignement) Une série de spécimens différents pour chaque type de test Caractérisation longue et coûteuse Identification mixte numérique - expérimentale Les techniques basées sur l’identification des grandeurs modales ont le potentiel de caractériser, rapidement et à moindre coût, en un seul test non destructif les 6 paramètres élastiques de composites stratifiés 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

1.2 Principe de caractérisation Caractérisation de matériaux Définition d’un test géométrie paramètres physiques type de chargement Consistance Expérience chargement et supports capteurs et acquisition post-traitement Modèle théorique hypothèses exact ou approché inversible ou non analytique or numérique Identification directe ou itérative exacte ou approchée surdéterminée ou non linéaire ou non linéaire 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

1.3 Classification des méthodes de caractérisation Les méthodes de caractérisation de matériaux composites peuvent être classées de la manière suivante: Type de chargement Plage de mesure Famille de modèles Exemple Chargement statique Mesure ponctuelle / moyenne Analytique et inversible Tests standardisés ASTM D3039, D3518 Numérique / non inversible Validation modèle Mesure de champ Méthodes des champs virtuels Identification mixte num. / exp. par ex. par minimisation de type moindres carrés Dynamique Caractérisation par ultrasons ou par identification des fréquences propres de spécimens de poutres minces Identification mixte num. / exp. des fréquences propres de spécimens de poutres épaisses ou de plaques/coques Identification mixte num. / exp. des fréquences et modes propres de spécimens de plaques/coques épaisses 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

1.4 Identification mixte en dynamique: historique A partir de 2000, extension à la détermination de l’endommagement ou des propriétés de structures actives, mais détermination toujours peu fiable des modules de cisaillement transverse 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

1.5 Objectifs et nouveaux développements But Développement d’une méthode efficace, basée sur l’analyse modale numérique et expérimentale, pour la caractérisation des propriétés élastiques constitutives de composites stratifiés Nouveaux développements Méthode de mesure modale de haute qualité des fréquences et modes propres de coques stratifiées Modèle d’éléments finis de coque précis avec déformations en cisaillement d’ordre élevé dans l’épaisseur (HSDT) Fonctionnelles d’erreur sensibles et robustes basées sur les fréquences et les formes propres des modes mesurés et simulés Algorithme d’identification mixte num. – exp. générique, robuste et efficace Identification mixte num. / exp. des paramètres constitutifs Estimation initiale x = x0 Solution numérique Snum(x) Paramètres identifiés x Analyse modale exp. Sexp Normes d’erreur modales e (Snum,Sexp) Correction des paramètres x ( minimisation de e ) e > emin e < emin Num Exp Opt Err 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.1 Analyse modale expérimentale Hypothèses Problème linéaire élastique en petites déformations et petits déplacements Avantages Mesures de nombreux modes en un seul test Test réalisable sans aucun contact ni appui Les grandeurs modales représentent les propriétés élastiques et massiques globales du spécimen Essai non destructif, réalisable in situ Objectif Mesure de haute qualité et modélisable précisément par éléments finis, d’un grand nombre de modes propres d’un stratifié composite Démarche Maximiser la corrélation avec le modèle numérique Minimiser les effets de bords / d’environnement Réduire au maximum les rigidités et masses externes au spécimen Méthode d’analyse modale “Sans Contact” 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.1a Analyse modale expérimentale: démarche xr(t) fs(t) 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.2 Conditions aux limites et système de mesure Exp Interféromètre laser à effet Doppler Mesure modale sans contact Conditions aux limites libres-libres Mesure de la réponse dynamique par interféromètre laser Doppler à balayage Excitation par ondes acoustiques Système Polytec PSV200 de 1 Hz à plus de 20 kHz, sensibilité élevée (résolution < 1 mm/s ) Mesure automatique des fonctions de transfert sur une grille de mesure Génération des signaux d’excitation et acquisition des données Film rétro-réflecteur sur la surface de mesure pour augmenter le rapport signal / bruit à hautes fréquences et très faibles amplitudes 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.3 Schéma de l’expérience 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.4 Excitation acoustique Exp Avantages Masse ajoutée et rigidité négligeable Plage de fréquence étendue (grand nombre de modes) Inconvénients Faibles pressions Dispersion et interférences des ondes acoustiques Excitation modale sélective (effets des symétries) Possibilités Combiner plusieurs sources Optimiser la position et les caractéristiques d’une source unique 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.5 Excitation acoustique: optimisation Exp 750 Hz 2250Hz 3750Hz Démarche Choix d’un haut parleur adéquat: Linéarité Plage de fréquence Petite taille Fortement directionnel Caractérisation spatiale et fréquentielle du HP choisi Définition de critères d’optimalité, p.ex: Puissance d’excitation modale minimale sur un ensemble de modes Optimisation de la position (cx,cy) de la source Evaluation approx. des formes et fréquences propres du spécimen Calcul des puissances et forces d’excitation modales pour chaque position (cx,cy) de la source Recherche manuelle des optimums 5250 Hz 6750Hz 8250Hz 9750 Hz 11250Hz 12750Hz ¼ de spécimen Position optimale 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.6 Extraction modale par curve fitting MDOF Exp Système de mesure et d’excitation optimisé Mesure possible d’un grand nombre de modes propres (environ 10 à 25) dans une plage de fréquences de 50 Hz à 15 kHz. Densité modale élevée => modes proches et difficiles à extraire précisément Utilisation d’une technique d’extraction modale par curve fitting MDOF Modes proches => « couplage » des formes propres Mesures Modèle modal à n DDL 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.7 Qualité des modes mesurés Exp Qualité d’extraction modale Les erreurs de mesure d’une forme propre ne sont généralement pas de type bruit blanc, mais plutôt des perturbations corrélées avec les autres modes Evaluation des effets de couplage des formes propres Graphes des phases Amortissement modal Matrice MAC Sélection des modes propres de bonne qualité pour l’identification (environ 80 à 90 % ) 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

2.8 Déroulement de la méthode de mesure Exp Procédure de mesure Mesures dimensionnelles (longueur, largeur et épaisseur, en plusieurs points) Préparation optique de la surface de mesure en collant un film rétro-réflecteur Mesure de la masse totale et calcul de la densité Perçage de petits trous (environ 1 mm) aux deux coins supérieurs du spécimen et fixation des fils de support en nylon Optimisation de la position de la source acoustique Installation dans une chambre anéchoïde, positionnement du haut-parleur et alignement avec le système de mesure laser Définition d’un maillage de mesure Définition des paramètres d’acquisition Mesure des fonctions de transfert en vitesse Transfert des FRFs et extraction modale par curve fitting MDOF 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3. Modèle d’éléments finis de coque HSDT Num Objectif Développer un modèle numérique aussi sensible et précis que possible pour l’analyse modale numérique de stratifiés en matériaux composites, tout en offrant un rapport précision / temps de calcul avantageux Déformations en cisaillement transverse: Modélisation précise des effets de cisaillement transverse Sensibilité élevée aux modules de cisaillement pour des coques épaisses Relaxer au maximum les hypothèses sur les champs de déformations et contraintes pour se rapprocher d’une formulation d’élasticité 3D Représentation de stratifiés quelconques de composites orthotropes 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.1 Théories des stratifiés composites Num Théories ESL des stratifiés composites 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.2 Eléments finis de coque d’ordre p variable Num Elément fini de coque d’ordre p Généralisation et extension à la dynamique de l’élément fini de Surana & Sorem (1990) Nouvelle formulation avec conditionnement numérique amélioré Calcul des matrices de masse consistantes ou diagonales Intégration numérique par couche exacte, réduite ou sélective Géométrie triangulaire ou quadrangulaire avec interpolations linéaire, quadratique ou cubique complète ou non Spécificités Basé sur un développement limité de Taylor à un ordre p variable du déplacement dans l’épaisseur de la coque Modèle le plus général des théories ESL 3 (p+1) DDL par nœud Modélisation précise des déformations en cisaillement transverse Précision / coût opératoire ajustable en fonction des besoins et des moyens Modélisation de stratifiés composites Intégration numérique par couche Loi linéaire élastique orthotrope 3D dans chaque couche Interpolation géométrique Champ des déplacements approchés 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.2a Déplacements et déformations approchés Num Champ des déplacements approchés où et Champ des déformations approchées avec 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.2b Contraintes et loi constitutive Num Champ des contraintes approchées dans la couche k Loi constitutive linéaire orthotrope 3D avec Orientation de la loi constitutive Tranformation eTk: orientation de la couche k (angle ejk) Tranformation eQ: orientation de la coque en 3D 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.2c Matrices élémentaires Num Matrices élémentaires et Masse: Rigidité: Intégration numérique Intégration numérique exacte (Gauss-Legendre) dans chaque couche k => transformation de coordonnées supplémentaire Intégration à p+1 points de Gauss-Legendre dans l’épaisseur et intégration exacte, réduite ou sélective dans le plan de la coque Pour un élément quadrangulaire 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.3 Validation semi - analytique Num Validation analytique Modèles semi-analytiques de plaques carrées (0°,90°)s Rapports a/h variant de 4 à 100 Différentes classes de formulation ESL + zigzag (EDZ1, EDZ3) avec compressibilité transverse ESL + zigzag (EDZ1d, EDZ3d) sans compressibilité transverse Layerwise d’ordre 1 et 3 (LD1, LD3) Comparaison de la première pulsation propre adimensionnelle W Résultats Excellente précision PSDT p.r. aux théories layerwise même pour a/h<10 Convergence lorsque p augmente p=3 apporte un important gain p.r au FSDT À partir de p=5 la première pulsation propre a convergé même pour a/h=4 Effet élevé du facteur de correction de cisaillement (FSDT) et peu d’effet notable des termes zigzag et de la compressibilité transverse Propriétés physiques Pulsation propre adim. Résultats 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

3.4 Validation numérique Validation numérique Comparaison avec un modèle d’éléments finis solides (Abaqus C3D20R), maillage 3D: 20 x 13 x 16 (57’000 DDL) Modèle PSDT d’ordre 1 à 9, 15 x 10 éléments sérendipiens (de 3000 à 15’000 DDL) Stratifié (0°,90°)2s de dimensions 150x100x10, 150x100x20 et 150x100x40 mm en composite carbone - époxy Résultats Excellente précision p.r. au modèle EF 3D, moins de 1% d’erreur pour p ≥ 3 Convergence p=3 suffisant pour les coques modérément épaisses (15 < a/h < 25) p=5 nécessaire pour les coques très épaisses (a/h<15) Efficacité opératoire bien plus intéressante que les modèles 3D pour une précision identique Plaque 150x100x40 mm Convergence 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4. Identification mixte numérique-expérimentale Err Objectifs Développer une procédure d’identification mixte des paramètres élastiques se basant sur les pulsations et modes propres de stratifiés composites Paramètres recherchés Modules de Young dans le plan E1, E2 Module de cisaillement dans le plan G12 Coefficient de Poisson dans le plan n12 Modules de cisaillement transverse G13, G23 Développements Fonctionnelle d’erreur Sensible à l’ensemble des paramètres élastiques Robuste (convexe) dans une large plage de paramètres Algorithme d’optimisation efficace, précis et robuste 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.1 Normes d’erreur modales Normes d’erreur modales basées sur: Pulsations propres mesurées et calculées Termes diagonaux et hors diagonale de la matrice MAC Mjl des formes propres numériques et expérimentales Une mesure de corrélation des lignes nodales basée sur un principe de traitement et corrélation d’image (interpolation bicubique et filtres) La somme des écarts des composantes des formes propres 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.2 Etude de sensibilité: fréquences propres Err Plaque carbone – époxy UD 150 x 100 x 10 mm E1, E2, E3, n12, n23, n31, G12, G23, G31 Sensibilité des fréquences propres p.r aux paramètres La sensibilité des fréquences propres est très sélective en fonction des paramètres et des types de mode. Sensibilité aux cisaillements transverses clairement augmentée avec la fréquence et pas d’effet sensible du coefficient de Poisson. 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.3 Sensibilité: norme MAC diag. et corr. nodale Err Plaque carbone – époxy UD 150 x 100 x 10 mm Sensibilité des normes MAC diagonale et de corrélation des lignes nodales en fonction des paramètres E1, E2, E3, n12, n23, n31, G12, G23, G31 La sensibilité est assez homogène p.r. au coefficient de Poisson dans le plan et p.r. aux modules de cisaillement. Sensibilité aux cisaillements transverses clairement augmentée avec la fréquence. 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.4 Sensibilité: MAC hors diag. et écart des composantes Err Plaque carbone – époxy UD 150 x 100 x 10 mm Sensibilité des normes MAC hors diagonale et de la somme des écarts des composantes modales en fonction des paramètres E1, E2, E3, n12, n23, n31, G12, G23, G31 La sensibilité est très homogène par rapport aux différents paramètres, notamment p.r au coefficient de Poisson et aux modules de cisaillement. 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.5 Fonctionnelle d’erreur et dérivées modales Fonctionnelle d’erreur totale Combinaison pondérée des normes d’erreur modales Facteurs de pondération: Doivent représenter les incertitudes expérimentales Modélisation des incertitudes très difficile Détermination empirique: erreurs résiduelles équilibrées Facteur afrq amac1 amac2 anod aecm Poids 1 1 0.05 0.1 1 x 10-6 Poids 2 0.025 0.01 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

4.6 Problème d’optimisation Identification Paramètres d’identification xi Minimisation aux moindres carrés de la fonctionnelle d’erreur modale Optimisation Algorithme de minimisation aux moindres carrés non linéaires de type Levenberg-Marquardt : Robuste et stable Convergence super-linéaire lorsque le résidu est faible Nécessite le calcul du gradient J(xi) Plusieurs méthodes testées (Nelson, base modale, différences finies) Différences finies directes restent préférables p.r précision / temps calcul Levenberg-Marquardt Avec le gradient: Direction de descente hi : Avec hi donné par : 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.1 Validation: caractérisation statique Err Opt Exp Num Spécimens Tirés de plaques UD / CP carbone – époxy (~50%vol fibre), de 3.7 à 13 mm d’épaisseur Caractérisation statique Test de traction ASTM D3039 Flexion quatre points Torsion d’un coupon rectangulaire (seul. plaque P2 de 8mm, test selon Tsai & Daniel, 1990) Tests statiques de caractérisation 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.2 Validation: Spécimens et mesures dynamiques Err Opt Exp Num Spécimens de tests dynamiques Analyse modale expérimentale 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.3 Validation: identification mixte Err Opt Exp Num Convergence et robustesse Convergence rapide en 3 à 6 itérations Convergence des modules de Young et de cisaillement lors des premières itérations Évolution plus lente du coeff. de Poisson après stabilisation des modules Possibilité d’identifier les paramètres en deux temps Reproductibilité de env. 2% Robustesse: Converge même avec +/- 40% d’erreur initiale sur chaque paramètre Stratifiés épais (a/h < 15) Gain important lors du passage au modèle PSDT d’ordre p=5 Plaque 8 mm, p=3 Plaque 13 mm, p=5 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.4 Validation: grandeurs modales identifiées Err Opt Exp Num Comparaison des données modales mesurées et identifiées Excellente identification des fréquences propres avec une erreur moyenne inférieure à 1% (inférieure à l’incertitude de mesure) Très bonne corrélation des formes propres calculées et mesurées dans la grande majorité des cas (mesures de bonne qualité) Termes MAC diagonaux > 0.9 et hors diagonale < 0.15 L’orthogonalité et la correspondance des modes propres sont donc vérifiées 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.5 Validation: paramètres constitutifs identifiés 1/2 Err Opt Exp Num Plaques UD minces (3.7 mm, a/h entre 35 et 60) Bonne identification des modules de Young et du coefficient de Poisson pour les plaques avec fibres dans le sens de la longueur (P1V2 et P1V3) Pas de valeur de référence pour les modules de cisaillement sur ces plaques 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.6 Validation: paramètres constitutifs identifiés 2/2 Err Opt Exp Num Plaques UD modérément épaisses (8.2 mm, a/h entre 16 et 30) Très bonne identification des modules de Young, du coefficient de Poisson et des modules de cisaillement dans le plan et transverses pour les plaques avec fibres dans le sens de la longueur (P2V2 et P2V3) 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

5.7 Validation: stratifié épais à plis croisés Err Opt Exp Num Plaque (0°,90°)4s fortement épaisse (13 mm, a/h = 16) Non-unicité de la solution d’identification par couche du matériau, car les rigidités de flexion dépendent à la fois de E1 et E2. Existe visiblement un lieu des optimums en (E1, E2). Identification orthotrope « homogénéisée » par contre possible sans difficulté. 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

6.1 Conclusions 1/2 Analyse modale expérimentale Num Exp Opt Err Analyse modale expérimentale L’utilisation conjointe d’un système de mesure par interférométrie laser Doppler à balayage, d’une source d’excitation acoustique optimisée et d’une technique d’extraction modale par curve fitting MDOF permet une mesure non invasive de haute qualité des fréquences propres et modes propres de stratifiés composites Modèles d’éléments finis Le modèle d’élément fini de coque d’ordre p variable développé est général, précis et efficace (précision / coût opératoire) pour l’analyse modale numérique de structures stratifiées en composites minces à très épais Fonctionnelle d’erreur modale Les normes d’erreur modales basées à la fois sur les fréquences et les formes propres s’avèrent sensibles et robustes par rapport à l’ensemble des paramètres constitutifs à identifier Procédure d’optimisation mixte L’algorithme de Levenberg-Marquardt de minimisation non linéaire aux moindres carrés permet une identification rapide, robuste et précise des paramètres d’identification 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

6.2 Conclusions 2/2 Err Opt Exp Num Méthode d’identification modale mixte numérique-expérimentale des propriétés élastiques de stratifiés composites La méthode d’identification proposée fournit une estimation précise des 6 propriétés élastiques constitutives de stratifiés composites à l’aide d’un seul test vibratoire non destructif La précision obtenue pour les modules de Young et de cisaillement est au moins aussi bonne que pour les tests statiques standards Le coefficient de Poisson est généralement déterminé précisément, mais reste sensible à la qualité des mesures de formes propres Les modules de cisaillement transverse peuvent être identifiés précisément pour des plaques modérément épaisses (10<a/h<15) 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

6.3 Développements futurs et perspectives Err Opt Exp Num Qualité d’identification Validation et étude de fiabilité (sources d’erreur) plus poussée Définition des dimensions optimales des spécimens de tests vibratoires Validation de la méthode pour des structures gauches de type coque Résolution des difficultés d’identification de stratifiés non UD Performances Optimisation du modèle EF PSDT en supprimant les termes d’ordre impair et les effets de compressibilité transverse (réduction du nombre de DDL par nœud) Parallélisation de l’algorithme de minimisation Extensions Extension à l’identification simultanée / séquentielle de plusieurs matériaux (sandwich, patch composites, renforts) Identification de structures complexes (géométrie et modes 3D) et d’éléments d’assemblage (rigidités de liaisons p.ex) Extension à la mesure de paramètres dissipatifs et/ou aux effets d’environnement (humidité, température, amplitude d’excitation) Identification de l’endommagement et de la délamination de structures composites stratifiées 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL

6.4 Publications Publications Conférences Err Opt Exp Num Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Modal validation of a set of C0-compatible composite shell finite elements , Composites science and technology, 2004, v64(13-14), pp. 2039-2050 Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Identification by modal analysis of composite structures modelled with FSDT and HSDT laminated shell finite elements, Composites Part A, 2004, v35(7-8), pp.977-987 Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A., Numerical-experimental identification of the elastic properties in composite shells, (2004) submitted to Computers & Structures Conférences Cugnoni, J., Gmür, Th., Schorderet, A.,Modal identification of composite structures modelled with FSDT and HSDT laminated shell finite elements, Proceedings of the International Conference on Composites Testing and Model Identification CompTest 2003 (Eds. F. Pierron, M. Wisnom), Châlons-en-Champagne, France, January 28-31, 2003, ENSAM, Châlons-en-Champagne, Paper P11 Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., Numerical-experimental identifica­tion of the elastic properties in composite shells, Proceedings of the 7th International Conference on Computational Structures Technology (Eds. B. H. V. Topping, C. A. Mota Soares), Lisbon, Portugal, September 7-9, 2004, Civil-Comp Press, Stirling, pp. Paper 239, 18 p. Cugnoni, J., Gmür, Th., and Schorderet, A., A mixed numerical-experimental identification method for evaluating the constitutive parameters of composite lami­nated shells, Proceedings of the 2nd International Conference on Composites Testing and Model Identification CompTest 2004 (Eds. F. Pierron, M. Wisnom), Bristol, United Kingdom, September 21-23, 2004. Paper P58, pp. 85-86 6.10.2004 J. Cugnoni, LMAF / EPFL