2.1.6 Matrices homogènes 3D Homogenous representation in 3D: 4x4 (12) Same as in 2D, just one additional geometric dimension. Une rotation autour d'un axe ne passant pas par l'origine se compose de la même façon que dans le cas 2D: Rotation around general axis, not through origin: Same as before, i.e. (13) avec le vecteur p de l'origine 0 à un point quelconque sur l'axe de rotation

Rappel: Mouvement général 3D: Vis (screw, Schraube) Différence importante avec le cas 2D: Le mouvement général en 3D est équivalent à une rotation autour d'un axe plus une translation en direction de cet axe. Exercice 8b: Trouver matrice de transformation menant les points A=[1 0 0]T , B=[0 0 0]T et C=[0 1 0]T vers A'=[1 0 1]T , B'=[1 –1 1]T et C’=[0 –1 1]T Axe, l'angle de rotation, la translation en direction de l'axe?

2.1.7 Variables robot ou { q1, q2, … qi, …. qn }. Tout robot est controlé par des consignes angulaires ou linéaires envoyées aux actionneurs (moteurs). Ces angles ou positions sont les variables robots. Leur nombre n est le nombre de ddl du robot. (joint variables) Nous utilisons { q1, q2, … qi, …. qn } ou { q1, q2, … qi, …. qn }.

Variables opérationnelles La tâche du robot se décrit dans d’autres termes: Position et orientation de l’outil, de l’objet à manipuler. Pour un corps rigide, il sera nécessaire de spécifier six paramètres indépendants, correspondants aux six ddl d’un solide dans l’espace. {x,y,z, Q} ou {x,y,z, a, b, g}

Modèle Géométrique Direct MGD Le MGD donne les coordonnées opérationelles en fonction des variables articulaires: {x,y,z, Q} = F (q1, q2, … qi, …. qn ) MGD = direct kinematics, forward kinematics

q4 y q2 L2 L1 q1 x Exemple: MGD du SCARA Fig.8 Définition des variables articulaires qi définir les positions de référence qi = 0 définir les paramètres du robot Li

qi = 0 y L1 L2 x x = … ? y = … ? z = q3 j = q1 + q2 + q4 Position de référence qi = 0 y L1 L2 x Le MGD donne orientation et position de la main x = … ? y = … ? z = q3 j = q1 + q2 + q4 q1 q2 q4 L1 L2 y x

x = L1 cos q1 + L2cos(q1 + q2 ) = L1 c1 + L2c12 Position du centre de la main (tool center point TCP) & orientation de la main TCP y q2 L2 L1 q1 x x = L1 cos q1 + L2cos(q1 + q2 ) = L1 c1 + L2c12 y = L1 sin q1 + L2sin(q1 + q2 ) = L1 s1 + L2s12 z = q3 j = q1 + q2 + q4

Position & orientation d’un outil TCP y L4 q2 q1 x x = L1 c1 + L2c12 + L4c124 y = L1 s1 + L2s12 + L4s124 z = q3 j = q1 + q2 + q4

MGD d’un robot à 6 ddl? La même démarche pour un robot à 6 ddl devient très difficile => utiliser les matrices homogènes! Exercice 9 !