Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Objectifs de ce cours Rappels de Mecanique des Milieux continus MMC Application aux modeles de l'ingenieur : Barre & Poutre En « MMC,, quatre champs inconnus ch'aJiif?s vJ£totiets. ii E u Deplacements J E F Forces = Ii e E a E :1: Deformations Contraintes = Relies par I.(cr)I.(cr) CT = D(8) = E(c) t F( j ) U (ii) Relations i geo:etrlques T = cr ii Lois de ccmportement g§ner(iis(Je - & = f (u)& = f (u) Relations geometriques

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Geometrie - £(e)£(e) i D I t g8om 8triques - $= /(ii)$= /(ii) Relations x U(li) dx - FdX Transformation du milieuVPED x =] ( X,t ) Description Lagrangienne Gradient de la transformation F(X, t) = ox ( ax ' t) = grad x (x).. Rfrentiel En pratique VPe D x = X +U( X,t) + F = l +H Champ de deplacement H = grac. 1 x (U-)= oU ( X _,t) axax

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Deformations 1( di.d:i - dX -.dX -) = dX -. = E dX - 2 =T-=T = Tenseur des deformations de Green LagrangEE = H + H + H H2 Hypothese des petites perturbations Variation de longueur de e; Demi-variation de l'angle ( e;,e; ) Glissement - £(e) -£(e) - I t g8om8triques $= /(ii)$= /(ii) Relations U(li)U(li) =T-=T- = H + H $ = ---$ = e-·2e-·2

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 - l:(a)l:(a) Relations i geo:etrues T = u ii Contraintes T(P,n) Vecteur contrainte en P sur une facette de normalr pression ( N I 111 ) 2 F(j)F(j) Tenseur des contraintes de Cauchy T ( p' n) = O"( P) ii, =T (J - = <J [ aJ =[ aJ = ·.,.,. - i £;?.'"' (j.. II (j.. I} contraintes normales contraintes de cisaillement _, n 0"110"120"120"130"13 0"12 0"13 0"22 0"23 0"1 _, 0"33

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Comportement u = f ( s) = D s '- 6 2 = 36 coefficients _c; = D(&) 1:(;;:) - £(!)£(!) Hypothese milieu elastique homogene et isotrope Loi de Hooke_______ u = ?.Tr(s) 1+2µs (A.,Jt) coefficients de Lame Son inverse = v = = l+v = e = /- 1 (u) =--Tr(u)l+-u E ?,, = Evj (l + v)(l - 2v) µ = E/2(l + v) Le module d'Young et le coefficient de poisson sont obtenus experimentalement a partir de l'essai de traction

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Equations du mouvement PFD pa = f +div( CY) F (j) U (Ii) Principe local Formulation vectorielle systeme d'Equations aux Derivees Partielles "EDP" Solutions analytiques

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 F (j) U (Ii) f p fi. 8ii dV =-f a: 88 dV + f ].8ii dV + f f.8u dS DDDDDD ao 'v'M e oD" Equations du mouvement PTV Chaix \:/M e8D,, u = ud soit Ou(M ) =0 \:/ 8iicA f p iJ..8ii dV +f a: 08 dV = f.f.8u dV + f T 0.8ii dS DDD Forme variationnelle du probleme ao"ao" Discretisation Solutions numeriques

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Modele barre « PFD,, On isole une tranche dx pSudx = dN + fdx NN+dN « Comportement,, N = ESu,x pSu -ESu_ xx = f ESu x = Nt1(1) u = ud (t) sur oD" sur oD,, Les conditions aux limites· dx_ ·-- ->x Les conditions initiales { u(x, 0) = u (x) u( x, 0) = u (x) 0 0

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 2Ed = J ES (u,x ) 2 dx 0 Modele barre " PTV » Principes des Travaux Virtuels 5A=bW F o -- --l ----, Fe -u(M,t)-u(M,t) c '<f bu J pSii bu dx = -J ESu,x bu,x dx + J f e bu dx + F0bu0 + FebUtoebu dx + F0bu0 + FebUtoe o b

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Modele poutre " PFD,, ItIt (r ) Mf +dM.f l-l-- -l--l-l-- -l-- MfMf I / x T +dT dx " PTV )) Vov 0 « Comportement » 0 pSv +Elv 4 = /,X T = -Mf,x Mf= Elv,xx

Cours ENSA de Vibrations lineaires des systemes mecaniquesCours 2 Nous utiliserons ces deux modeles Dans le dernier chapitre Vibrations des milieux continus & Methodes variationnelles discretisees