PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C
Approximation de fonctions et régression Approximation linéaire Méthode du moindre carré Exemple
Approximation linéaire Nous cherchons la droite qui approxime le mieux selon un critère de moindre carré, un ensemble de points de contrôle La forme du modèle linéaire (bivarié) à une seule variable indépendante est donnée par: b0: ordonnée à l’origine b1: pente
Approximation linéaire Par exemple
Approximation linéaire Cherchons une droite d’approximation de la forme T = aR + b Posons Yi valeurs expérimentales (axe Y) faisant référence aux températures Et yi une valeur calculée (approximation) par: yi = axi + b où xi représente les valeurs de résistance
Approximation linéaire Cherchons la droite (coefficients a et b) qui approxi-me le mieux les données expérimentales Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)
Approximation linéaire Cherchons les valeurs de a et b qui minimise S en divisant par -2 et en distribuant la nous obtenons
Approximation linéaire Pour notre exemple nous savons que: N=5 ,Ri = 4438, Ri2 = 3.982 x 106 ,Ti = 273.1 xi xi2 Yi RiTi = 254 932.5 xiYi Nous avons comme système d’équations:
Approximation linéaire Par substitution le système d’équations devient: isolons b de la seconde équation
Approximation linéaire Substituons b de la première équation pour déduire a nous pouvons alors déduire b de la seconde équation b = -199.06
Approximation linéaire Avec a et b connu nous pouvons alors déduire la droite d’approximation suivante
Exemple Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)