Géométrie des FIGURES PLANES Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Révision des principales formules A) Aires de triangles

A) Aires de triangles Formule de Héron (où p est le ½-périmètre du triangle)

B) Aires de quadrilatères Rectangle Carré Acarré = c2

B) Aires de quadrilatères Parallélogramme Aparallélogramme = b  h Trapèze Atrapèze

B) Aires de quadrilatères Losange Cerf-volant

C) Aires de polygones (à n côtés) Apolygone régulier D) Aires de disques

E) Relation de Pythagore Les triangles rectangle se retrouvent aussi à l’intérieur des pyramides ou des cônes… !

F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Hauteur relative à l’hypothénuse

F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Mesure des cathètes

G) Rapports trigonométriques (dans les triangles rectangles) mesure du côté opposé à  A mesure de l’hypoténuse mesure du côté adjacent à  A mesure de l’hypoténuse mesure du côté opposé à  A mesure du côté adjacent à  A

H) Loi des sinus (dans tous les triangles) B C a b c

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Figures planes équivalentes Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire. A Ex. : A D 4 cm 2 cm B 3 cm C B 3 cm C Donc le triangle ABC et le rectangle ABCD sont équivalents. b x h A = A = b x h 2 3 x 4 A = 3 x 2 A = 2 A = 6 cm2 A = 6 cm2

Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? E A 13 cm 4 cm 15 cm 8 cm B D F G 4 cm 13 cm C H ? Figures équivalentes Alosange = Acerf-volant  Acerf-volant Acerf-volant = AEFG + AFGH AEFG = p (p – a) (p – b) (p – c) (formule de Héron où p est le ½-périmètre) AEFG = 16 (16 – 4) (16 – 13) (16 – 15) AEFG = 16 (12) (3) (1) AEFG = 24 cm2 Comme AEFG = AFGH , alors AFGH = 24 cm2 Donc Acerf-volant = AEFG + AFGH Acerf-volant = 24 + 24 = 48 cm2

Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? E A 13 cm 4 cm 15 cm 8 cm B D F G 4 cm 13 cm C H ? Figures équivalentes Alosange = Acerf-volant D x d  Dlosange Alosange = 2 D x 8 48 = 2 96 = D x 8 12 = D Réponse : La grande diagonale mesure 12 cm.

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Ex. #1 : Parmi ces triangles équivalents, c’est le triangle équilatéral qui a le plus petit périmètre.

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Ex. #2 : Parmi ces quadrilatères équivalents, c’est le carré qui a le plus petit périmètre.

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones réguliers équivalents, c’est le polygone qui a le plus petit côté qui a le plus petit périmètre. À la limite, c’est le disque équivalent qui a le plus petit périmètre. Ex. : Parmi ces polygones réguliers équivalents, c’est l’hexagone qui a le plus petit périmètre.

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -  Transformations dans le plan cartésien A) Translation On note t(a, b) la translation qui applique un déplacement de : a unités horizontalement b unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + a, y + b) pour une translation t(a, b) . t (a, b) : P (x, y) P’ (x + a, y + b)

2 unités horizontalement (vers la droite) Exemple #1 : t(2. 5) 2 unités horizontalement (vers la droite) 5 unités verticalement (vers le haut) 1 O’ (2, 5) A’ (-3, 3) + 5 + 5 + 2 O (0, 0) + 2 A (-5, -2) O’ est l’image de O. O (0, 0) O’ (0 + 2, 0 + 5) O’ (2, 5) A’ est l’image de A. A (-5, -2) A’ (-5 + 2, -2 + 5) A’ (-3, 3)

Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t(-3, 2) ? Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t(-3, 2) ? 1 A’ (-5, 6) + 2 A (-2, 4) - 3 B’ (-5, 0) C’ (0, 0) + 2 + 2 - 3 B (-2, -2) - 3 C (3, -2) t (-3, 2) : A (-2, 4) A’ (-2 – 3, 4 + 2) A’ (-5, 6) B (-2, -2) B’ (-2 – 3, -2 + 2) B’ (-5, 0) C (3, -2) C’ (3 – 3, -2 + 2) C’ (0, 0)

Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation t(7, -5) . 1 A (3, 5) + 7 + 7 - 5 B (4, 2) A’ (10, 0) - 5 D (-2, -2) + 7 B’ (11, -3) + 7 - 5 C (3, -4) - 5 D’ (5, -7) C’ (10, -9) A (3, 5) A’ (3 + 7, 5 – 5) A’ (10, 0) t (7, -5) : B (4, 2) B’ (4 + 7, 2 – 5) B’ (11, -3) C (3, -4) C’ (3 + 7, 4 – 5) C’ (10, -9) D (-2, -2) D’ (-2 + 7, -2 – 5) D’ (5, -7)

Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation t(-3, -2). Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ? 1 A (-2, 4) A’ (-5, 2) + 2 + 3 B (-2, -2) C (3, -2) + 3 + 2 + 3 + 2 B’ (-5, -4) C’ (0, -4) t-1(3, 2) : A’ (-5, 2) A (-5 + 3, 2 + 2) A (-2, 4) B’ (-5, -4) B (-5 + 3, -4 + 2) B (-2, -2) C’ (0, -4) C (0 + 3, -4 + 2) C (3, -2)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - B) Réflexion (ou symétrie) On note sx la réflexion par rapport à l’axe des abscisses (ou « x »). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sx devient P’ (x, - y). sx : P (x, y) P’ (x, - y)

Exemple : sx 1 A (2, 3) A’ (2, -3) sx : A (2, 3) A’ (2, -3)

On note sy la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées (ou « y »). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sy devient P’ (- x, y). sy : P (x, y) P’ (- x, y) Exemple : sy 1 sy : A (2, 3) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3) A (2, 3)

Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion sy . 1 B’ B A A’ C’ C D’ D sy : A (-2, 6) A’ (2, 6) B (2, 9) B’ (-2, 9) C (6, 4) C’ (-6, 4) D (5, 1) D’ (-5, 1)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - C) Homothétie On note h(O, k) l’homothétie de centrée à l’origine O et de rapport k. Pour chaque point P (x, y) , l’image par h(O, k) devient P’ (kx, ky). h(O, k) : P (x, y) P’ (kx, ky)

Exemple #1 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, 2) . 1 B’ B A’ C’ A C h(O, 2) : A (2, 1) A’ (2 x 2, 2 x 1) A’ (4, 2) B (2, 5) B’ (2 x 2, 2 x 5) B’ (4, 10) C (4, 1) C’ (2 x 4, 2 x 1) C’ (8, 2)

Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, ½) . 1 B B’ A A’ C’ C h(O, ½) : A (-8, -2) A’ (½ x -8, ½ x -2) A’ (-4, -1) B (-2, 10) B’ (½ x -2, ½ x 10) B’ (-1, 5) C (6, -6) C’ (½ x 6, ½ x -6) C’ (3, -3)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - D) Rotations (autour de l’origine O) Rotation de 90o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o) devient P’ (- y, x). r(O, 90o) : P (x, y) P’ (- y, x) Rotation de 180o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o) devient P’ (- x, - y). r(O, 180o) : P (x, y) P’ (- x, - y) Rotation de 270o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o) devient P’ (y, - x). r(O, 270o) : P (x, y) P’ (y, - x)

Rotation de 90o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o) devient P’ (- y, x). r(O, 90o) : P (x, y) P’ (- y, x) Exemple : r(O, 90o) 1 B r(O, 90o) : C’ A (3, 2) A’ (-2, 3) B (3, 10) B’ (-10, 3) C (7, 2) C’ (-2, 7) B’ A’ A 90o C

Rotation de 180o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o) devient P’ (- x, - y). r(O, 180o) : P (x, y) P’ (- x, - y) Exemple : r(O, 180o) 1 B r(O, 180o) : C’ A (3, 2) A’ (-3, -2) B (3, 10) B’ (-3, -10) C (7, 2) C’ (-7, -2) B’ A’ 180o A C C’ A’ B’

Rotation de 270o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o) devient P’ (y, - x). r(O, 270o) : P (x, y) P’ (y, - x) Exemple : r(O, 270o) 1 B r(O, 270o) : C’ A (3, 2) A’ (2, -3) B (3, 10) B’ (10, -3) C (7, 2) C’ (2, -7) B’ A’ A C 270o C’ A’ A’ B’ C’ B’

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - E) Dilatation ou contraction Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement. Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement. Pour chaque point P (x, y) , l’image par une contraction ou une dilatation devient P’ (ax, by). P (x, y) P’ (ax, by) où a ≠ 0 et b ≠ 0. Si a = b, alors on a une homothétie.

C’est une dilatation verticale ! Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (x, 2y) 1 B’ C’est une dilatation verticale ! B A’ A C C’ D D’ A (-4, 1) A’ (-4, 2 x 1) A’ (-4, 2) B (0, 4) B’ (0, 2 x 4) B’ (0, 8) C (4, -1) C’ (4, 2 x -1) C’ (4, -2) D (3, -4) D’ (3, 2 x -4) D’ (3, -8)

C’est une contraction horizontale ! Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (½ x , y) 1 B B’ C’est une contraction horizontale ! A A’ C’ C A (-8, -2) A’ (½ x -8, -2) A’ (-4, -2) B (-2, 10) B’ (½ x -2, 10) B’ (-1, 10) C (6, -6) C’ (½ x 6, -6) C’ (3, -6)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - F) Compositions de transformations On utilise le symbole  , qui se lit « rond », pour lier une série de transformations consécutives. On lit les transformations de DROITE à GAUCHE. Ex. : sx  h(O, 2)  t(2, -5) À l’objet initial, on applique :  t(2, -5)  h(O, 2)  sx

Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante : h(O, ⅓)  sy  t(4, -7) t (4, -7) : B A (-10, 16) A’ (-10 + 4, 16 – 7) A’ (-6, 9) 2 B (-7, 22) B’ (-7 + 4, 22 – 7) B’ (-3, 15) C B’ A’’ C’’ B’’ C (-4, 19) C’ (-4 + 4, 19 – 7) C’ (0, 12) A C’ sy : A’ A’’’ C’’’ B’’’ A’ (-6, 9) A’’ (6, 9) B’ (-3, 15) B’’ (3, 15) C’ (0, 12) C’’ (0, 12) h(O, ⅓) : A’’ (6, 9) A’’’(⅓ x 6, ⅓ x 9) A’’’ (2, 3) B’’ (3, 15) B’’’ (⅓ x 3, ⅓ x 15) B’’’ (1, 5) C’’ (0, 12) C’’’ (⅓ x 0, ⅓ x 12) C’’’ (0, 4)

Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - G) Isométries et similitudes ISOMÉTRIES Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles et segments). Translations, réflexions, rotations. SIMILITUDES La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés. Homothéties