Probabilités géométriques

Probabilité géométrique La probabilité géométrique est liée à la réalisation d’un résultat d’une expérience aléatoire dans un contexte géométrique. On retrouve 3 probabilités géométriques : - probabilité géométrique à une dimension; - probabilité géométrique à deux dimensions; - probabilité géométrique à trois dimensions.

Variables aléatoires discrètes et continues Une variable est dite discrète si on peut en dénombrer les résultats. Exemple: On lance un dé, on s’intéresse aux résultats pairs. X : (obtenir un résultat pair) est une variable discrète car on peut en dénombrer les résultats. X : (obtenir un résultat pair) : { 2, 4, 6 } On peut en calculer la probabilité : nombre de cas favorables 3 2 1 P(X) = = = nombre de cas possibles 6

Variables aléatoires discrètes et continues Une variable est dite continue si on ne peut pas en dénombrer les résultats. Exemple: On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ? A B C D E F Ici, on ne peut pas dénombrer le nombre de cas favorables car il y a une infinité de positions possibles pour un point sur le segment BC. X : (un point sur BC) : est une variable continue car elle prend une infinité non dénombrable de valeurs. Comment calculer cette probabilité ? Les probabilités géométriques le permettent.

Probabilité géométrique à une dimension Ce calcul de probabilités utilise les mesures de longueurs. Exemple : On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ? A B C D E F Il s’agit simplement de donner des mesures aux différents segments. 4 cm 5 cm 2 cm 3 cm 3 cm 17 cm On reporte alors les mesures. m BC m AF = 5 cm 17 cm = 5 17 P(point sur BC) = ≈ 0,294 ≈ 29,4 %

Exemple : On choisit au hasard un point sur les côtés du rectangle ABCD ci-dessous. A D B C 8 cm 5 cm Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le côté AD ? 1) Calculer la mesure du périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 8 + 5 ) = 26 cm. 2) Calculer la probabilité que le point se situe sur le côté AD : périmètre ABCD = m AD 5 cm 26 cm = 5 26 P(point sur AD) = ≈ 0,192 ≈ 19,2 %

Probabilité géométrique à deux dimensions Ce calcul de probabilités utilise les mesures de superficies. Exemple 1: Dans la figure suivante, quelle est la probabilité d’atteindre le cercle ? 8 cm 2 cm P = Aire du cercle Aire de la surface totale La formule : 1) Calculer l’aire du cercle: A = π r2 = π X 22 ≈ 12,5664 cm2 2) Calculer l’aire du carré: A = C2 = 82 = 64 cm2 3) Poser le rapport: = P = Aire du cercle Aire de la surface totale 64 cm2 12,5664 cm2 ≈ 0,196 ≈ 19,6 % La probabilité d’atteindre le cercle est donc d’environ 19,6 %.

Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés rouges ? Exemple 2: 12 cm 6 cm Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés rouges ? 1) Calculer l’aire d’un carré: A = C2 = 32 = 9 cm2 2) Calculer l’aire du rectangle: A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2 3) Poser le rapport: P = Aire des cibles Aire de la surface totale = 9 cm2 + 9 cm2 72 cm2 = 18 cm2 72 cm2 = 4 1 = 0,25 = 25 % La probabilité d’atteindre un des carrés rouges est de 25 %. Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ?

Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ? Exemple 2: 12 cm 6 cm Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ? 1) Calculer l’aire d’un carré: A = C2 = 32 = 9 cm2 2) Calculer l’aire du rectangle: A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2 3) Poser le rapport: P = Aire des cibles Aire de la surface totale = 6 X 9 cm2 72 cm2 = 54 cm2 72 cm2 = 4 3 = 0,75 = 75 % La probabilité d’atteindre un des carrés jaunes est de 75 %.

La probabilité d’atteindre un carré rouge est de 0,25. Remarque : 12 cm 6 cm La probabilité d’atteindre un carré rouge est de 0,25. La probabilité d’atteindre un carré jaune ( soit le reste ) est de 0,75. Les probabilités des deux évènements donnent une somme de 1. Ce sont donc des évènements complémentaires. Évènements complémentaires Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1, ces deux évènements sont appelés complémentaires. Dans l’exemple des carrés rouges et jaunes, sachant que la probabilité d’atteindre un carré rouge est de 0,25, on pourrait calculer la probabilité d’atteindre un carré jaune en effectuant le calcul suivant : P( jaune ) = 1 – P( rouge ) = 1 – 0,25 = 0,75 ou 75 % .

Probabilité géométrique à trois dimensions Ce calcul de probabilités utilise les mesures d’espaces. Exemple : 8 cm 6 cm 5 cm 2 cm On choisit au hasard un point dans le prisme droit ci-contre. Quelle est la probabilité que ce point se situe dans le prisme rouge ? Volume du prisme rouge Volume du gros prisme P = La formule : 1) Calculer le volume du prisme rouge : L x l X h = 8 X 5 X 2 = 80 cm3 2) Calculer le volume du gros prisme : L x l X h = 8 X 5 X 6 = 240 cm3 3) Poser le rapport : Volume du prisme rouge Volume du gros prisme P = = 60 cm3 240 cm3 = 1 3 = 0,3 ≈ 33,3 % La probabilité que le point se situe dans le prisme rouge est d’environ 33,3 %.