Relations et fonctions

Une relation est un lien ( un rapport ) existant entre des choses, des situations et/ou des personnes. La mathématique permet de quantifier et/ou de qualifier ces différentes relations. Exemple: Un bureau de médecin offre 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une manière permettant de calculer le salaire de la secrétaire. x En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit et le salaire de la secrétaire par une autre lettre soit y on peut décrire la relation suivante: Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées y = 20 $ X x y = 20 x Cette règle signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire .

x x le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. Heures travaillées : x Salaire ($): 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100 6 120 7 140 8 160 y = 20 X En donnant des valeurs à , on peut calculer des valeurs pour y. x x Dans ce genre de situations, les lettres ( ici, et y ) sont appelées des variables car elles varient ( elles prennent plusieurs valeurs ) dans une même situation. x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre. y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec x .

Certaines relations portent le nom de fonctions. Ce qui les distingue des autres relations est le lien particulier existant entre les variables. Une relation entre deux variables est dite fonctionnelle, ou tout simplement une fonction, lorsque à chaque valeur de la variable indépendante est associée au plus une valeur de la variable dépendante. Dans l’exemple de la secrétaire, celle-ci ne peut pas faire deux salaires différents pour un même nombre d’heures travaillées. Cette relation est donc une fonction.

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une valeur d’abscisse ( x ) ne peut avoir plus qu’une ordonnée ( y ) . Ce sont toutes des fonctions.

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une abscisse ne peut avoir plus qu’une ordonnée. Ici, chaque abscisse possède 2 ordonnées différentes. Chaque valeur de x possède 2 valeurs de y. Ce ne sont pas des fonctions. Ce sont quand même des relations.

Détermine si les graphiques suivants représentent des fonctions. x y x y x y oui non non x y x y x y oui oui oui

Afin de distinguer les fonctions des autres types de relations, on utilise une notation particulière appelée notation fonctionnelle. On sait que l’exemple du bureau de médecin offrant 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale est une fonction. Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées On pourrait écrire: y = 20 x mais on écrira: f(x) = 20 x car c’est une fonction. Ce symbole signifie que les valeurs de la fonction (les valeurs de la variable dépendante) se calculeront en fonction des valeurs données à la variable indépendante. Exemple: f(x) = 20 x f(5) = 20 X 5 = 100 donc f(5) = 100 soit le couple ( 5 , 100 ) f(8) = 20 X 8 = 160 donc f(8) = 160 soit le couple ( 8 , 160 )

Lorsqu’on travaille avec plusieurs fonctions simultanément, on les désigne par des lettres différentes. Exemples: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 h(x) = x / 100 Une fonction sera désignée par la notation fonctionnelle. Une relation sera désignée par f(x) et x y et x f(x) = x y2 = - x2 + 1

Exercice 1 Voici deux fonctions: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule f (13) : f(x) = 2x + 5 f(13) = 2 X 13 + 5 = 31 Calcule f (0) : f(x) = 2x + 5 f(0) = 2 X 0 + 5 = 5 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(4) : g(4) = 42 + 5 X 4 + 6 = 42 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(0) : g(0) = 02 + 5 X 0 + 6 = 6

La relation réciproque Une fonction traduit une relation de cause à effet. La relation réciproque, c’est retrouver la cause connaissant l’effet. Dans l’exemple de la secrétaire, le salaire est l’effet du calcul effectué avec les valeurs données à x à raison de 20,00 $ de l’heure. Heures travaillées : x 1 2 3 4 5 6 7 … Salaire : f(x) = 20 x 20 40 60 80 100 120 140 Temps (heures) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire ( $ ) Salaire d’une secrétaire médicale

La relation réciproque On pourrait aussi de demander: « Son salaire provient de quelle quantité d’heures de travail. » La variable dépendante devient alors la variable indépendante et la variable indépendante, la dépendante. Pour représenter cette situation dans une table de valeurs ou dans un graphique, il faut inverser les valeurs des deux variables.

La relation réciproque 7 6 5 4 3 2 1 Heures : x Salaire : x … 140 120 100 80 60 40 20 Salaire : y = 20 x Heures y = x/20 … Salaire d’une secrétaire médicale Salaire ( $ ) 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 Courbe de la réciproque. Courbe de la fonction de départ. 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 6 7 Temps (heures)

La relation réciproque La réciproque est utile avec des fonctions plus complexes. Les réciproques des fonctions ne sont pas toutes des fonctions. Exemple : Courbe de la fonction de départ. Courbe de la réciproque y x Ici, la réciproque est également une fonction car chaque valeur de la nouvelle variable indépendante n’a qu’une valeur pour la nouvelle variable dépendante.

La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ? Fonction de départ y 4 x -2 -1 1 2 y 4 3 2 1 x 1 2 -2 -1 -1 -2 -3 -4 Sa réciproque y x 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 x y Cette relation n’est pas une fonction car un même x a 2 valeurs de y. -2 -1 1 2 4 1 C’est quand même une relation. La réciproque d’une fonction n’est pas toujours une fonction.