Factorisation par division

Factoriser, c’est retrouver les facteurs qui constituent un produit. facteur X facteur 15 = 3 X 5 ou 1 X 15 5a = 5 X a ab = a X b 3x + 3 = 3 X ( x + 1 ) x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) X ( x + 3) Remarque: Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

Factoriser par division Lorsque l’on connaît l’un des facteurs, on peut déterminer l’autre par division. Exemple: Sachant que 3 est facteur de 15, détermine l’autre facteur ? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera l’autre facteur soit 5 La division est donc une forme de factorisation.

x3 Division de monômes Pour diviser un monôme par un monôme, il faut: - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final; 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3 y2 ÷ y1 = y2-1 = y1 = y z ÷ z = z1 ÷ z1 = z1-1 = z0 = 1 2 . x3 . y . 1 = 2x3 y On pourrait aussi procéder comme suit: 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12x3 y2 z 6yz 2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z 2 . 3 . y . z = = 2x3 y

x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x x . y2 . x y2 x y2 2x2y3z ÷ 4xyz2 : 2 ÷ 4 = 1 21 ÷ 22 = 21-2 = 2-1 = x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x y3 ÷ y1 = y3-1 = y2 1 z z1 ÷ z2 = z1-2 = z-1 = 1 2 . x . y2 . z 2 z x y2 = On pourrait aussi procéder comme suit: 2x2y3z 4xyz2 2 . 2 . x . y . z . z 2 . x . x . y . y . y . z 2 z x y2 2x2y3z ÷ 4xyz2 = = =

x2 ÷ x1 = x2-1 = x 4x2 ÷ 2xy = 4x2 ÷ 2x1y1 ou 4x2 X 1 ÷ 2x1y1 4x2 X y0 ÷ 2x1y1 : 4 ÷ 2 = 2 x2 ÷ x1 = x2-1 = x 1 y y0 ÷ y1 = y0-1 = y-1 = 2 . x . 1 y y 2x = On pourrait aussi procéder comme suit: 4x2 2xy = 2 . x . y 2 . 2 . x . x . = 2x y 4x2 ÷ 2xy =

x3 x3 x3 Procédé rapide 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12x3 y2 z 6yz 2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z 2 . 3 . y . z = = 2x3 y Selon ce principe x3 12 y2 x3 z 2 y Le plus grand est en haut donc… = 6 y z Ils s’annulent. 2 x3 y

x y2 x2 x x x y2 Procédé rapide 2x2y3z 4xyz2 2 . 2 . x . y . z . z 2 . x . x . y . y . y . z 2 z x y2 2x2y3z ÷ 4xyz2 = = = Selon ce principe 2 4 x2 x y3 y z z2 x y2 Le plus grand est en haut donc… = 2 z Le plus grand est en bas donc… 22 2 z x y2

x2 x x 4x2 2xy = 2 . x . y 2 . 2 . x . x . = 2x y Procédé rapide Selon ce principe x2 4 2 x Le plus grand est en haut donc… = x 2 y y 2x y Effectue les divisions suivantes : 6a3b3c2 2a2bc = 24x3y4 9x4y2 = 23 . 3 . x3 . y4 32 . x4 . y2 = = 23y2 3x 8y2 3x 3ab2c ( x2 + 3 )3 ( x2 + 3 )2 = 120 a4 b3 c6 d88 60 a3 b3 c4 d87 = ( x2 + 3 ) 2ac2d

Division d’un polynôme par un monôme Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division d’un monôme par un monôme. Exemples: ( 3xy + 6y ) 3y = 3xy + 6y 3y = ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = x + 2 ( x2 – 3x ) x = x2 - 3x x = ( x2 – 3x ) ÷ x = x - 3 ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 3x = 6x3 + 9x2 - 12x 3x = 2x2 + 3x - 4

Problème Le volume de ce prisme est de ( 2c3 + 10c2 + 12c ) unités3. 2c Quelle expression algébrique représente l’aire d’une des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le monôme 2c ? Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 2c3 + 10c2 + 12c 2c 2c3 + 10c2 + 12c 2c = 2c3 + 10c2 + 12c 2c = c2 + 5c + 6 Réponse: ( c2 + 5c + 6 ) unités2 Remarque: La division est une des techniques de factorisation.