Factorisation par division

Factoriser, c’est retrouver les facteurs qui constituent un produit. facteur X facteur 15 = 3 X 5 ou 1 X 15 5a = 5 X a ab = a X b 3x + 3 = 3 X ( x + 1 ) x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) X ( x + 3) Remarque: Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

Factoriser par division Lorsque l’on connaît l’un des facteurs, on peut déterminer l’autre par division. Exemple: Que vaut le quotient de 15 ÷ 3 ? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera l’autre facteur soit 5 La division est donc une forme de factorisation.

x3 Division de monômes Pour diviser un monôme par un monôme, il faut: - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final; 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3 y2 ÷ y1 = y2-1 = y1 = y z ÷ z = z1 ÷ z1 = z1-1 = z0 = 1 2 . x3 . y . 1 = 2x3 y

x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x x . y2 . x y2 2x2y3z ÷ 4xyz2 : 2 ÷ 4 = 1 2 21 ÷ 22 = 21-2 = 2-1 = x2 ÷ x1 = x2-1 = x1 = x y3 ÷ y1 = y3-1 = y2 1 z z1 ÷ z2 = z1-2 = z-1 = 1 2 . x . y2 . z 2 z x y2 =

x2 ÷ x1 = x2-1 = x 4x2 ÷ 2xy = 4x2 ÷ 2x1y1 ou 4x2 X 1 ÷ 2x1y1 4x2 X y0 ÷ 2x1y1 : 4 ÷ 2 = 2 x2 ÷ x1 = x2-1 = x 1 y y0 ÷ y1 = y0-1 = y-1 = 2 . x . 1 y y 2x =

Division d’un polynôme par un monôme Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division d’un monôme par un monôme. Exemples: ( 3xy + 6y ) 3y = 3xy + 6y 3y = ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = x + 2 ( x2 – 3x ) x = x2 - 3x x = ( x2 – 3x ) ÷ x = x - 3 ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 3x = 6x3 + 9x2 - 12x 3x = 2x2 + 3x - 4

- - - Un autre procédé pourrait être utilisé. Pour bien comprendre ce procédé, il faut se souvenir du procédé manuel de division. Exemple: 875 ÷ 5 Ce nombre s’appelle le dividende 8 7 5 7 5 5 Ce nombre s’appelle le diviseur. - 5 1 7 5 En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On soustrait alors cette quantité. 3 Ce nombre s’appelle le quotient. - On abaisse le chiffre suivant et on recommence. 3 5 - 2 2 5 Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 5 et 175 sont deux facteurs de 875.

Exemple: 947 ÷ 6 9 4 7 4 7 6 - 6 1 5 7 En débutant par le chiffre le plus à gauche dans le dividende, on cherche combien de fois on peut y inclure le diviseur. On soustrait alors cette quantité. 3 - On abaisse le chiffre suivant et on recommence. 3 0 - 4 4 2 5 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 6 et 157 ne sont pas deux facteurs de 947.

On peut utiliser le même procédé pour diviser un polynôme par un monôme. Exemple: ( 3xy + 6y ) ÷ 3y On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne 6y; On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. 3xy + 6y + 6y 3y - On effectue la soustraction. + - 3xy ce facteur est + 2. + 2 On cherche le facteur qui multiplié par 3y donne 3xy; On abaisse l’autre terme et on recommence. + - + - 6y ce facteur est x. x Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 3y et ( x + 2 ) sont deux facteurs de ( 3xy + 6y ) .

+ - - + Exemples: ( x2 – 3x ) ÷ x = On cherche le facteur qui multiplié par x donne -3x; On commence par le terme le plus à gauche dans le dividende. x2 - 3x - 3x x - On effectue la soustraction. + - x2 ce facteur est - 3. - 3 On cherche le facteur qui multiplié par x donne x2; On abaisse l’autre terme et on recommence. + - + - 3x ce facteur est x. x Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que x et ( x - 3 ) sont deux facteurs de ( x2 – 3x ) .

+ - - + + - Exemple: ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 3x 6x3 + 9x2 – 12x - 4 – 12x + - + - 9x2 + - + – 12x Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que 3x et ( 2x2 + 3x – 4 ) sont deux facteurs de ( 6x3 + 9x2 – 12x ) .

+ - - + + - Exemple: ( 3x2 + 6x – 8 ) 3 3x2 + 6x – 8 + 6x – 8 3 - 3x2 - 2 – 8 + - + - 6x + - + – 6 - 2 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que 3 et ( x2 + 2x – 2 ) ne sont pas deux facteurs de ( 3x2 + 6x – 8 ) .

+ + x + 3 x2 + 5x + 6 x2 x Division d’un polynôme par un binôme La division d’un polynôme par un binôme utilise le même procédé avec un peu plus de calculs. Exemple: ( x2 + 5x + 6 ) ÷ ( x + 3 ) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. x + 3 x2 + 5x + 6 + 6 + - X + 2 - x2 + 3x - On cherche le facteur qui multiplié par x donne x2 ; 2x + - ce facteur est x . x - 2x + 6 - 0 0 Attention: Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que ( x + 3 ) et ( x + 2 ) sont deux facteurs de (x2 + 5x + 6 ) .

+ + x + 4 x2 + 2x - 8 x2 x Division d’un polynôme par un binôme Exemple: ( x2 + 2x - 8 ) ÷ ( x + 4 ) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. x + 4 x2 + 2x - 8 - 8 + - X - x2 + 4x - 2 - On cherche le facteur qui multiplié par x donne x2 ; - 2x + - ce facteur est x . x + - 2x + - 8 0 0 Attention: Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que ( x + 4 ) et ( x - 2 ) sont deux facteurs de (x2 + 2x - 8 ) .

+ + Division d’un polynôme par un binôme Exemple: ( 4x2 - 4x - 15 ) ÷ ( 2x + 3 ) On commence avec le terme le plus à gauche dans le dividende et le terme le plus à gauche dans le diviseur. 4x2 - 4x - 15 2x + 3 - 15 + - - 5 - 4x2 + 6x - On cherche le facteur qui multiplié par 2x donne 4x2 ; - 10x + - ce facteur est 2x . 2x + - 10x + - 15 0 0 Attention: Le diviseur est un binôme; il faut donc penser à multiplier le 2e terme aussi. On effectue la soustraction. On abaisse le reste du polynôme et on recommence. Comme il n’y a pas de reste dans cette division, on conclut que ( 2x + 3 ) et ( 2x - 5 ) sont deux facteurs de (4x2 - 4x - 15 ) .

+ + x2 + 14x + 33 x + 11 x2 x Exemple: ( x2 + 14x + 33 ) ÷ ( x + 11 ) Démarche exigée: x2 + 14x + 33 x + 11 + 33 + - - x2 + 11x x + 3 + 3x - + - + 3x + 33 0 0

+ + x2 + 15x + 50 x + 5 x2 x Exemple: ( x2 + 15x + 50 ) ÷ ( x + 5 ) Démarche exigée: x2 + 15x + 50 x + 5 + 50 + - - x2 + 5x x + 10 + 10x - + - + 10x + 50 0 0

+ x2 - 11x + 28 x - 7 x2 x Exemple: ( x2 - 11x + 28 ) ÷ ( x - 7 ) Démarche exigée: x2 - 11x + 28 x - 7 + 28 + - - x2 - 7x x - 4 - 4x + - - - 4x + 28 0 0

+ Exemple: ( 6x2 + 7x - 5 ) ÷ ( 3x + 5 ) 6x2 + 7x - 5 3x + 5 Démarche exigée: - 5 + - - 6x2 + 10x 2x - 1 - 3x + - - 3x - 5 0 0

+ + x2 - 0x - 4 x + 2 x x2 Exemple: ( x2 - 4 ) ÷ ( x + 2 ) Ce polynôme peut s’écrire ( x2 – 0x – 4) x2 - 0x - 4 x + 2 - 4 + - x - 2 - x2 + 2x - - 2x + - + - 2x - 4 + 0 0

+ + x2 + 3x + 3 x + 1 x2 x x x + 1 Exemple: - - x2 + 1x - x + 2 + 2x + - + 2x + 2 - - 1 Comme il y a un reste dans cette division, on conclut que ( x + 1 ) et (x + 2 ) ne sont pas deux facteurs de ( x2 + 3x + 3) . + 2 x 1 x + 1 + Le quotient de cette division pourrait s’écrire :

Problème Le volume de ce prisme est de ( 4c3 + 22c2 + 40c + 24 ) unités3. 2c + 3 Quelle expression algébrique représente l’aire d’une des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le binôme ( 2c + 3 ) ? Volume = Aire base X hauteur Aire base = volume hauteur 4c3 + 22c2 + 40c + 24 2c + 3 4c3 + 22c2 + 40c + 24 2c + 3 + 40c + 24 + - - 4c3 + 6c2 - 2c2 + 8c + 8 + 16c2 + 24 + - + 24c + 16c2 - - + 16c + - + 16c + 24 - - 0 0 Réponse: ( 2c2 + 8c + 8 ) unités2 Remarque: La division est une des techniques de factorisation.