Cours n° 5 : Grandeurs énergétiques

Cas général

Caractérisation des pertes Les pertes (par cycle) sont égales à la surface du cycle B-H. Si on est passé pour le calcul des champs à des caractéristiques univoques, les pertes ne sont plus prises en compte dans ce calcul ! On peut les réintroduire a posteriori sous forme graphique. Sur un graphe bilogarithmique, on considère souvent que les caractéristiques sont des droites (soupçons si trop juste).

On peut aussi utiliser des expressions analytiques. Si on admet que les relations deviennent linéaires quand on utilise des échelle logarithmiques, on a une dépendance vis à vis de la fréquence f et du champ de crête Bp de la forme densité de perte = A fa Bpb où A, a et b sont des constantes à déterminer empiriquement pour chaque matériau. Exemple tiré d ’un catalogue (pour le matériau dont le graphe a été montré). For frequenties < 10 kHz Core loss = 4.63 x 10-8 f0.964 B2.03 (mW/cm3)(Hz)(gauss) For frequenties > 10 kHz Core loss = 2.16 x 10-9 f1.31 B2.03 (mW/cm3)(Hz)(gauss)

Milieux linéaires en harmoniques temporels

A partir des valeurs complexes des champs, on peut former une densité d’énergie complexe qui vaudra le module des champs est égal à leur valeur de crête et le module des champs est égal à leur valeur efficace On montre facilement que la surface du cycle magnétique est égale à Puisque cette surface est l’énergie perdue à chaque cycle, on en déduit que la densité de puissance perdue vaut

La densité de pertes magnétiques vaut (cas linéaire) avec On peut exprimer cette puissance perdue en utilisant la perméabilité magnétique complexe ou la réluctivité magnétique complexe Notes : 1. La partie imaginaire de la perméabilité est négative 2. On peut aussi utiliser ces formules « à l’envers » pour déterminer la partie imaginaire de la perméabilité magnétique ou de la réluctivité magnétique connaissant l’expression des pertes magnétiques.

Les pertes par courants de Foucault locaux (limités par la taille des grains ou l’épaisseur des plaques…) sont classées comme pertes Joule dans un modèle fin mais comme pertes magnétiques dans un modèle macroscopique Même dans le modèle fin, on peut avoir une perméabilité magnétique complexe, de façon à tenir compte des pertes qui ne sont pas dues à des courants de Foucault à l’échelle de ce modèle. Cela n’empêche pas l’utilisation des formules d’homogénéisation vues au cours précédent !

Ainsi, dans le cas d’un empilement de tôles, nous avons vu en semaine 3 que l’on peut remplacer la perméabilité m des tôles par une perméabilité équivalente complexe me : la partie complexe correspond à une densité de pertes magnétiques. L’expression reste valable si m est déjà un nombre complexe. Même remarque pour la formule d’homogénéisation relative à un faisceau de cylindres.

Rappel : on a défini la profondeur de peau Dans le cas d’un empilement de tôles dont chacune a une épaisseur d est petite par rapport à cette profondeur de peau, le calcul se simplifie car on peut supposer le champ B uniforme dans les tôles (effet de peau négligeable). Cette hypothèse d << d est souvent vérifiée car elle s’impose pour avoir des pertes faibles !

Si d << d , on peut partir des formules calculées précédemment et chercher leur expression à la limite où d est petit, mais on peut aussi établir directement les formules simplifiées. Soit Bc le champ de crête à l’intérieur des tôles, supposé uniforme. Ce champ est légèrement supérieur au champ macroscopique à cause de l’intervalle vide entre les tôles. On calcule aisément la puissance perdue par unité de volume. où a est le coefficient de remplissage, s la conductivité des tôles, n la fréquence et d = a l l’épaisseur des tôles. On voit la perméabilité n’intervient plus dans ce calcul. On peut donc calculer séparément les pertes par courant de Foucault et les pertes dues à la nature du matériau. Ces dernières sont souvent traitées comme pertes par hystérésis.

A Bp fixé, les pertes par hystérésis sont proportionnelles à la fréquence, alors que les pertes par courants de Foucault sont à peu près proportionnelles au carré de la fréquence. On a donc la formule Densité de pertes magnétiques = A f Bph + C f2 Bp2 où A, h et C sont des constantes empiriques, h portant le nom de coefficient de Steinmetz. (le premier terme représente les pertes par hystérésis et le second les pertes par courants de Foucault locaux) Cette expression n’a que trois coefficients à déterminer. Elle n’est donc pas plus difficile à utiliser que la formule empirique vue au début du cours et qui ne sépare pas les deux types de pertes. Elle est valable pour d’autres structures que les empilements de tôles (agglomérat de grains isolés les uns des autres par exemple)

Densité de pertes magnétiques = A f Bph + C f2 Bp2 Attention ! Manifestement, le premier terme n’est pas valable asymptotiquement, car la surface du cycle d’hystérésis n’augmente pas indéfiniment ! Il vaudrait mieux y utiliser la polarisation magnétique au lieu de Bp . La formule n’est valide que si la profondeur de peau est grande par rapport à l’épaisseur des tôles, de sorte que le champ B soit uniforme sur toute la section des tôles. Le coefficient C du second terme peut alors se calculer en fonction de la conductivité des tôles et de leur épaisseur, donc sans recours à l’expérimentation.

Attention : Btôle  B (le champ macroscopique) Btôle kf + m0 H (1 – kf ) = B , donc où kf est le coefficient de remplissage du paquet de tôles.

L’équation de Maxwell devient compte tenu des symétries donc Ey = Bp w x sin(wt) + cst et Jy = s Bp w x sin(wt) + cst La cst est nulle car on ne s’intéresse ici aux courants à grande échelle, donc le courant total dans la tôle est supposé nul.

Jy = s Bp w x sin(wt) soit en valeur moyenne En intégrant sur le volume de la tôle, on trouve une puissance La puissance perdue par unité de masse est donc où r est la masse volumique

Pertes par courants de Foucault = Exemple numérique : tôles M235-35A d = 0.35 10-3 m = 7600 kg / m3 s = 1690000 S/m Les pertes par courant de Foucault valent donc 44.8 10-6 Bp2 f2 en W/kg , soit, pour f = 50 Hz et Bp = 1.5 T , 0.252 W/kg Par ailleurs, les pertes par hystérésis de ces tôles valent 16.5 10-3 Bp2 f , soit dans les conditions standard 1.856 W/kg Soit au total : 2.11 W/kg au lieu de la valeur nominale 2.35 W/kg Note : d  1.4 10-3 m

Milieux sans pertes (+ wcm0 s ’il y a des aimants) En l’absence de pertes, on peut utiliser la fonction énergie ou d’autres fonctions énergétiques. Rappel de théorie des circuits pour un circuit filiforme (+ wcm0 s ’il y a des aimants) avec Note : on a pour les circuits glissants (cfr chapitre 2) pour un circuit glissant

Pour profiter de ce type de formalisme, on effectue souvent les calculs de champ sans tenir compte des pertes. On obtient ainsi une valeur approchée des champs, mais l’erreur est minuscule si les pertes sont petites …. Et on calcule ensuite la valeur des pertes en se basant sur cette valeur approchée des champs.

Caractérisation par une fonction énergétique Densité d ’énergie :Wm (B) =  H . dB donc H =  Wm / B donc Hi =  Wm / Bi Densité de coénergie :Wcm (H) =  B . dH donc B =  Wcm / H donc Bi =  Wcm / Hi Idem en électricité : We (D) et Wce ( E) On définit aussi la densité de lagrangien (au sens de Maxwell) L ( H , D) = Wcm (H) - We (D) fonction de grandeurs du même volet attention au signe -

On peut aussi utiliser l ’énergie pour un circuit filiforme avec (+ wm0 s ’il y a des aimants) Donc, une possibilité pour calculer le couple en l’absence d’aimants est de calculer le flux pour un grand nombre de positions et de valeurs des courants. Choisir la forme d’une fonction d’énergie (ou de coénergie). Déterminer les coefficients de cette fonction par régression non linéaire. Puis calculer la force en cherchant la dérivée partielle et en calculant sa valeur numérique. Possible … mais fastidieux, surtout si on ne voulait pas le couple pour toutes les positions et valeurs des courants ! En présence d’aimants, il existe un couple de crantage mais la formule ci-dessus ne le fournit pas ! En effet :

Densités d ’énergie et de coénergie On définit Utilisant les règles de correspondance entre les champs et les grandeurs « circuit » y et i , on obtient (sous hypothèses normalement vérifiées, en particulier quasistatisme magnétique) y di = ò ò ò B . dH dV et donc wcm = ò ò ò Wcm dV Possible même si le calcul n’est fait que pour un jeu de valeurs des courants ! Mais il faut considérer plusieurs valeurs de q pour calculer le couple (interpoler puis dériver !!!).

Procédures de calcul La caractéristique magnétique des matériaux isotropes est souvent mise en mémoire sous la forme de en fonction de B2 , car on évite ainsi la prise de racines carrées lors du calcul de H en fonction de B . L ’intégrale est tabulée à l ’avance. Une fois le champ calculé, on obtient facilement B2 . Il reste à lire la table en chaque « point » et à intégrer sur tout l ’espace pour obtenir wm =  Wm dV . La coénergie peut s ’obtenir par différence des deux intégrales.

Attention ! Pouvez-vous dire ce que serait un modèle gaussien ? Si matériau dur = matériau doux + aimantation Les logiciels calculent parfois l ’énergie et la coénergie du « matériau doux ». Le résultat n ’est pas le même. Pouvez-vous dire ce que serait un modèle gaussien ?

On définit aussi We(D) et Wce (E) Note : La densité de lagrangien peut se définir L1 = Wcm - We (analogie de Maxwell : Wcm  coénergie cinétique We  énergie potentielle) ou L2 = Wce - Wm (analogie de Darrieus)

½ò ò ò J.A dV  correct s. si linéaire, quasistatique et sans aimants Attention ! Si on leur demande de calculer l ’énergie, certains logiciels offrent 5 possibilités non équivalentes. ½ò ò ò J.A dV  correct s. si linéaire, quasistatique et sans aimants  correct seulement si linéaire  dépend du modèle si aimants (B-H, ampère, gauss …?) ò ò ò ò H.dB dV  c’est la définition générale  mais dépend du modèle si aimants (B-H, ampère, gauss ?) ò ò ò ò B.dH dV  = la coénergie… ò ò ò B2 dV  n ’a pas la dimension d ’une énergie ! Aucune des 5 possibilités ne donne l ’énergie à coup sûr ! Réaction stupide à proscrire (mais fréquente) : faire une moyenne entre les trois premiers résultats !

Relations énergétiques locales Conservation de l ’énergie Rappel : flux d’énergie (Poynting) S = E x H ¶t W + div S = - J.E + ¶(t) W ou ¶t W + div S = -J.E - ¶(t) Wc ¶t W + div S = -J.E - ¶(t) L où (t) signifie que l ’on dérive à champ constant (donc terme nul si matière invariable)

Conservation de l ’impulsion Rappel : densité d ’impulsion G = D x B -u . ¶tG + Si,j¶i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W ou -u . ¶tG + Si,j¶i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) - £(u) Wc ou encore -u . ¶tG + Si,j¶i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) - £(u) L où le symbole £ désigne la dérivée de Lie, soit par exemple en référentiel holonome £(u) W = ¶(i) ( W ui) car W est une densité. (u) signifie dérivation à champ constant (donc terme nul dans un milieu uniforme).

Dans ces expressions, T est un tenseur, le tenseur de Maxwell, qui se décompose en une partie électrique et une partie magnétique : Teij = Di Ej - Wce dij Tmij = Bi Hj - Wcm dij où dij = 1 si i = j et est nul sinon (donc ses composantes forment une matrice unité). Beaucoup d ’autres expressions …. la plupart plus compliquées et valables uniquement dans le cas linéaire ! Les expressions ci-dessus sont les plus générales que je connaisse.

Densités volumiques de force dans le cas linéaire Dans l ’équation de conservation de l ’impulsion, le membre de droite comporte, outre le terme de force « sur les sources » J x B + r E , un terme £(u) W = - £(u) Wc qui tient compte de la force exercée sur les matériaux magnétiques. Dans un référentiel cartésien, ce terme correspond à une densité de force ¶(i) W = ¶(i) Wc . Dans le cas linéaire, on a ou Pour rappel, pas de telles forces dans un matériau uniforme ...

… Mais il y a des forces à la surface des matériaux magnétiques. Passant au cas limite d ’une variation brutale de perméabilité, on obtient une force perpendiculaire à la surface et de valeur (avec orientation de 1 vers 2) où on a utilisé comme variables les composantes de B et de H qui se conservent sur l ’interface. Si m1 =  , H// est nul et il reste f12 = B2 / (2 m2)

Calcul de la force par l ’intégrale de Maxwell Plutôt que d ’utiliser le membre de droite de la conservation de l ’impulsion -u . ¶i G + Si, j ¶i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W pour calculer la force, il est souvent plus facile d ’utiliser le membre de gauche. En intégrant sur tout un volume le terme relatif au tenseur de Maxwell, on obtient la force (généralisée).

Et la dérivée de l ’impulsion ? Dans le membre de gauche de la conservation de l ’impulsion -u . ¶t G + Si, j ¶i ( Tij uj ) = u . (J x B + r E ) + £(u) W , il y a aussi le terme en ¶tG . Pas de problème en quasistatique car G = D x B est toujours nul dans ce cas quasistatique magnétique D = 0 quasistatique électrique B = 0

Si on ne s’intéresse qu’à une position et un jeu de valeurs des courants, on peut ne calculer que pour cette position et ce jeu de valeurs des courants. La méthode de Maxwell est simple. Pour s ’en convaincre, essayer sur quelques exemples. Exemple 1 : Avec dans la partie « corrodée »

Autre exemple.

Par la méthode du tenseur de Maxwell, on peut retrouver f = q E et f = I L x B Il suffit de superposer un champ uniforme au champ de la source et de calculer la force sur une surface entourant la source (facile si on choisit une sphère dans le premier cas, un cylindre dans le second).

soit Seuls les troisième et sixième termes sont non nul On montre de même que Fx = 0 . La loi de Laplace est donc vérifiée !

L’expression de la force basée sur le tenseur de Maxwell est plus générale que les lois de Coulomb et Laplace. On peut en effet en déduire ces lois, ainsi que l’expression des forces sur les matériaux. Un bémol : avec les logiciels commerciaux, les erreurs numériques sont parfois importantes (dues à une programmation mal adaptée).

Complément sur les lois de similitudes Si toutes les dimensions sont proportionnelle à une longueur caractéristique L et que l ’on compare deux régimes correspondant aux mêmes champs B et H. La densité de force sur une surface de Maxwell est inchangée. Donc, les forces augmentent en L2 et les couples en L3 . La densité de puissance dégagée par pertes magnétiques est inchangée, donc chaleur perdue en L3. Par contre, densité de pertes ohmiques en L-2 donc pertes en L. Attention ! Rayonnement thermique en L2 , convection naturelle en L7/4 , conduction en L seulement .

Facteur d ’échelle sur le régime nominal Pas toujours possible ! Si les grandeurs dimensionnantes sont les pertes ohmiques et la conduction thermique en volume, comme ils sont tous deux en L , la similitude fait se correspondre les deux régimes nominaux…….. Mais c ’est loin d ’être toujours le cas. On peut exploiter les catalogues des fabricants en cherchant une loi reliant certaines caractéristiques (la puissance nominale notamment) à la taille des machines (possible seulement si la technologie est la même pour toutes les machines examinées). Attention ! D’autres grandeurs, par exemple la tension nominale, ne peuvent pas être liées à la taille !