Présentation dans le cadre du congrès mathématique Soyez les bienvenus! Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra-MATH-isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie Avec l’aide de M. Bolly Collège Saint-Michel

Les Triplets Pythagoriciens

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

1. Introduction 1.1. La corde à nœuds Cet instrument de mesure permet de vérifier qu’un angle est droit. La corde à nœuds est une application directe des triplets pythagoriciens. Elle peut former un triangle (3,4,5) tel qu’illustré à droite.

1.2. Définitions Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c². Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers. 5 3 4

Exemples de triangles primitifs: Un triplet est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux. Cas particulier: le seul triangle primitif dont les côtés ont pour mesure des naturels consécutifs est le triangle (3,4,5). Exemples de triangles primitifs: A B C 5 12 13 8 15 17 20 21 29 9 40 41

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Comment pourrions-nous trouver des triplets pythagoriciens de manière algébrique?

2. Approche algébrique 2.1. a et b tels que ab=x² Nous devons trouver la mesure des côtés a et b du rectangle afin que son aire égale celle du carré z+y=a (2) z-y =b (1)+(2): 2z=a+b x² ab

z= (a+b)/2 y=a-(a+b):2=(a-b)/2 x²= z²-y²=((a+b)/2)²-((a-b)/2)² x= S=( , (a-b)/2, (a+b)/2)

2.2. Est-il possible de trouver (x, y, z) tels que z - y= y - x = n ? Prenons d’abord le cas où x, y et z sont consécutifs : z - y= y - x= 1 Par résolution d’une équation du second degré, on a prouvé que l’unique solution était le triplet (3, 4, 5). Partant de ce triplet primitif, on peut trouver pour chaque n (n étant naturel) un unique triplet tel que: z – y= y – x= n

Démonstration par récurrence: Vrai pour n=1 (3, 4, 5) x 1 = (3, 4, 5) 5 – 4= 4 – 3 = 1 On suppose que c’est vrai pour n et on démontre pour n + 1 (3, 4, 5) x (n+1) = (3n+3, 4n+4, 5n+5) On a bien que z – y= y – x = n+1 Pour obtenir un triplet où les différences entre z et y et entre y et x sont égales à un même naturel, il suffit de multiplier les membres du triplet (3, 4, 5) par ce naturel.

Quelle est l’histoire de formules notables permettant de générer des triplets?

2.2 Un petit bout d’Histoire des mathématiques 2.2.1. Les formules de la Grèce Antique a) Platon « Pour tout entier naturel n, le triplet (2n ; n² −1 ; n² +1) est pythagoricien. » b) Pythagore « Pour tout entier naturel n, le triplet (2n +1 ; 2n² +2n ; 2n² +2n +1) est pythagoricien. »

c) Euclide «  Soient a, b et c trois entiers premiers entre eux deux à deux. Alors a²+ b² = c² si et seulement s’il existe deux entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : a =2nm; b= n²−m² et c² =n² +m² » Démonstration: Si x = 2nm, y = n²-m² et z² = n²+m², alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien Réciproquement, soit (x, y, z) irréductible, alors x et y ne sont pas de même parité Si x et y pairs, ce n’est pas un triplet primitif car les membres du triplet ont alors 2 comme facteur commun.

Si x et y étaient tous les deux impairs, on pourrait écrire x = 2p+1 ( p naturel) et y= 2q+1 D’où x²+y²= (2p+1)²+(2q+1)²= 4p²+ 4p+4q²+4q+2 = 4 (p²+p+q²+q)+2 Or ceci signifierait que z² serait pair et non divisible par 4. IMPOSSIBLE ( (2n)²= 4.n²). Tout nombre pair élevé au carré donne un multiple de 4! x et y doivent être de parité opposée x = 2nm est le terme pair y est impair et forcément z l’est aussi.

Posons x = 2u z+y = 2v z-y = 2w u, v et w sont premiers entre eux (puisque x, y et z le sont) x² = z²- y² (z+y)(z-y) = 4vw x² = (2u)² = 4u² u² = x²/4 u² = vw Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits car u²= vw

x²= 4m²n²  x= 2mn y = v - w = n²-m² z = v +w = n²+m² Nous pouvons donc écrire v= n² et w= m² (n et m sont premiers entre eux) x²= 4m²n²  x= 2mn y = v - w = n²-m² z = v +w = n²+m²

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Cherchons des formules génératrices des triplets par la géométrie!

3. Approche géométrique 3.1. Génération géométrique des triplets pythagoriciens La construction : Un cercle est inscrit dans un carré de côté unité dont l’un des sommets est P. Soit A l’une des intersections entre le cercle et le carré. La droite (AP) coupe le cercle en A’. Le rapport entre les côtés du rectangle A’A1A2A3 inscrit dans le cercle est 4/3. Joignant à nouveau P aux sommets des rectangles inscrits on obtient d’autres intersections et de triplets ainsi de suite.

3.2. Interprétation géométrique de la formule euclidienne Si a²+b²=c² alors (a/c)²+ (b/c)²=1 Cette équation représente le cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé. Tout point de ce cercle est donc solution de l’équation pythagoricienne. Nous cherchons à l’aide de la géométrie, les solutions entières Considérons le point P(0,1), le point P’(m/n,0) et le point d’intersection P’’ entre le cercle et la droite PP’

Nous recherchons une formule pour trouver les coordonnés du point P’’ Le cercle a pour équation y² + x² = 1 La droite PP’ a pour équation y = (m/n)x – 1 Nous remplaçons y dans l’équation du cercle pour trouver les coordonnés du point d’intersection P’’: (m²/n²)x² – 2(m/n)x + 1 + x² = 1 Nous obtenons ainsi la formule d’Euclide: x = [2(m/n)] / [(m²/n²) + 1] = (2mn) / (m² + n²) y = (-2m² + m² + n²) / (m² + n²) = (n² - m²) / (m² + n²)

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Explicitons et démontrons certaines propriétés des triplets pythagoriciens!

4. Quelques propriétés remarquables 4.1 La divisibilité d’un des termes d’un triplet par 4 Si a est le côté pair alors b et c sont impairs (cf. propriété de parité des triplets) En remplaçant a, b et c dans la formule des triplets nous obtenons: a = 2u (u, v, w, y Є N) b = 2v+1 c = 2w+1 a² = c² - b² 4u² = 4w² + 4w + 1 – 4v² - 4v - 1 4u² = 4 (w² + w - v² - v)0 u² = w² + w - v² - v u² = w (w+1) - v(v +1)

Nous savons que w (w+1) et v(v +1) sont impairs tandis que u² est pair Nous savons que w (w+1) et v(v +1) sont impairs tandis que u² est pair. Si u² est pair, u est pair Nous avons posé a = 2u u² = impair - impair u² = pair u = pair = 2y a = 2u = 2.2y = 4y a est divisible par 4

4.2. (x, y , z) tels que y et z sont consécutifs a) x²+y²=(y+1)² x²+y²=y²+2y+1 y=(x²-1)/2 (x , (x²-1)/2, (x²+1)/2) Remarque: x doit être impair pour que y et z soient des naturels b) y et z diffèrent de 2 unités x²+y²= (y+2)² x² = 4y+4 y = (x²-4)/4 (x, (x²-4)/4, (x²+4)/4) X² doit être un multiple de 4 et donc x doit être pair

c) Généralisons: y et z diffèrent de n unités x²+y²= (y+n)² x²+y²= y²+ 2ny+n² 2ny= x²-n² y= (x²-n²)/2n alors z= (x²+n²)/2n (x, (x²-n²)/2n, (x²+n²)/2n)

4.3. Génération de triplets par les complexes Théorème : A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b Démonstration : c² = a²- b² + i2ab = x + iy x²+y²= (a²- b²)² + (2ab)²= a⁴+ 2a²b²+ b⁴+ 4a²b² = (a²+ b²)² = z²

4.4 Le dernier théorème de Fermat 4.4.1. L’équation générale Conjecture de Fermat: Il n’y a pas de nombres entiers non nuls a, b et c tels que an + bn = cn  où n est un entier strictement supérieur à 2 Démonstration de Andrew Wiles: Démontrer que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires. (conjecture de Shimura-Taniyama-Weil) Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique. Démontrer que cette courbe ne peut être paramétrée par des fonctions modulaires.

4.4.2. Cas où n=2 a²+b²=c² Dans un repère orthonormé par l’axe horizontal a et par l’axe vertical b, les couples (a, b) de cette équation sont représentés par le graphique suivant:

b a